Stetigkeit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | [mm] f:\IR [/mm] \ {0} [mm] \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \rightarrow \frac{1}{x}
[/mm]
Beweisen sie die Stetigkeit. |
Hallo zusammen,
ich möchte die Stetigkeit dieser Funktion beweisen. Dafür habe ich das Epsilon-Delta-Kriterium gewählt, welches besagt:
Die Funktion f:D [mm] \rightarrow \IR [/mm] ist stetig in [mm] \varepsilon \in [/mm] D, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 existiert, sodass für alle x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-\varepsilon|< \delta [/mm] gilt: [mm] |f(x)-f(\varepsilon)|<\varepsilon
[/mm]
Mein Ansatz:
Seien o.B.d.A. [mm] x,x_{0} \in \IR: 0≤x_{0}≤x [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] >0
[mm] |f(x)-f(x_{0}|=|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{x}<\varepsilon [/mm] + [mm] \frac{1}{x_{0}}
[/mm]
[mm] \gdw x^{-1}<\varepsilon [/mm] + [mm] x_{0}^{-1}
[/mm]
Nun weiß ich nicht mehr weiter. Wäre dankbar für ein Tipps und Korrektur falls (ich denke schon) nötig.
Vielen Dank!
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Hallo,
Kennst du die Definition von Stetigkeit über Folgen?
Falls ja so bist du hier wesentlich schneller fertig.
Falls nein und du es unbedingt per eps-delta-Krit. machen willst dann :
Finde ein [mm] \delta [/mm] s.d mit [mm] $0<|x-x_{0}|<\delta$ [/mm] auch [mm] $|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}|<\epsilon$ [/mm] gilt.
Finde nun heraus wie [mm] \delta [/mm] zu wählen ist damit diese Bedingung [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} \backslash \{0\} [/mm] und beliebiges [mm] \epsilon [/mm] > 0 gilt.
Also: [mm] $|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}| [/mm] = [mm] \frac{|x-x_{0}|}{|x||x_{0}|} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $.
Schätze dazu :
[mm] $\frac{1}{|x||x_{0}|}$ [/mm] geschickt nach oben ab.
Setze dazu (trickreich) [mm] |x-x_{0}| [/mm] = [mm] \frac{|x_{0}|}{2}.
[/mm]
Finde nun eine Schranke für |x| (bedenke: Dreiecksungleichung )
Gruß Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
Vielen Dank für die Antwort!
Ich habe dazu zwei Fragen:
Ich muss leider das eps-delta-Krit. verwenden. Wie genau kommst du auf die Abschätzung von $ [mm] \frac{1}{|x||x_{0}|} [/mm] $,
und wie kommst du von da durch deine "trickreiche" Umformung auf $ [mm] |x-x_{0}|=\frac{|x_{0}|}{2}. [/mm] $?
Vielen Dank!
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[mm] |x-x_{0}| [/mm] = [mm] \frac{x_{0}}{2} [/mm] ist frei gewählt - diese Wahl wird allerdings später praktisch werden.
Wir können
[mm] \frac{1}{|x||x_{0}|} [/mm] durch [mm] \frac{2}{|x_{0}|^2} [/mm] abschätzen. (Wieso geht das ? - Wende die Dreiecksungleichung an )
wenn du das gemacht hast, dann bist du schon fast fertig - du kannst dann
[mm] \frac{|x-x_{0}|}{|x||x_{0}|} [/mm] nach oben abschätzen und zwar durch ... ?
Gruß THomas
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