Stetige Funktion, kompakte Men < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 13.02.2008 | | Autor: | zolushka |
| Aufgabe | A eine kompakte Menge, die Funktion f ist stetig, A - > [mm] \IR
[/mm]
f nimmt auf A das globale Maximum und das globale Minimum an. |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
es geht bei mir um den Beweis,
ich habe eine glitzerkleine Frage
also aus der Kompaktheit weiß ich, dass die Funktion beschränkt und abgeschlossen ist. Wenn die Folge [mm] X_n [/mm] beshränkt ist, es existiert entsprechend dem globalen Maximum und dem globalen Minimum Supremum und Infimum, ich nenne den Grenzwert "a"
Ist A kompakt, somit existiert für jede Folge [mm] X_n [/mm] einen Häufungspunkt
Also es gibt eine Teilfolge [mm] X_n_{k}, [/mm] der einen Häufungspunkt [mm] x^{*} [/mm] besitzt,
f ist stetig also es gilt f( [mm] X_n_{k}) [/mm] -> [mm] f(x^{*}) [/mm] (konvergent)
bis hierher verstehe ich den Beweis voll und ganz, aber in meiner Unterlagen steht, dass
f( [mm] X_n_{k}) [/mm] -> [mm] f(x^{*}) [/mm] , und [mm] f(x^{*}) [/mm] = a mein Grenzwert
Kann mir jemand bitte sagen, warum die gleich sein sollen?
Danke !
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> A eine kompakte Menge, die Funktion f ist stetig, A - >
> [mm]\IR[/mm]
> f nimmt auf A das globale Maximum und das globale Minimum
> an.
> Hallo,
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Hi!
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> es geht bei mir um den Beweis,
> ich habe eine glitzerkleine Frage
>
> also aus der Kompaktheit weiß ich, dass die Funktion
> beschränkt und abgeschlossen ist. Wenn die Folge [mm]X_n[/mm]
> beshränkt ist, es existiert entsprechend dem globalen
> Maximum und dem globalen Minimum Supremum und Infimum, ich
> nenne den Grenzwert "a"
>
> Ist A kompakt, somit existiert für jede Folge [mm]X_n[/mm] einen
> Häufungspunkt
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> Also es gibt eine Teilfolge [mm]X_n_{k},[/mm] der einen
> Häufungspunkt [mm]x^{*}[/mm] besitzt,
>
> f ist stetig also es gilt f( [mm]X_n_{k})[/mm] -> [mm]f(x^{*})[/mm]
> (konvergent)
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> bis hierher verstehe ich den Beweis voll und ganz, aber in
> meiner Unterlagen steht, dass
>
> f( [mm]X_n_{k})[/mm] -> [mm]f(x^{*})[/mm] , und [mm]f(x^{*})[/mm] = a mein Grenzwert
> Kann mir jemand bitte sagen, warum die gleich sein sollen?
Es ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_n [/mm] = a
Also konvergiert auch jede Teilfolge von [mm] X_n [/mm] gegen a. D.h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_n_k=a. [/mm]
Aufgrund der Stetigkeit folgt nun, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(X_n_k)=a.
[/mm]
Da [mm] f(X_n_k) [/mm] gegen [mm] f(x^{*}) [/mm] und gegen a konvergiert, muss [mm] f(x^{*}) [/mm] = a gelten.
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> Danke !
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 13.02.2008 | | Autor: | zolushka |
> > A eine kompakte Menge, die Funktion f ist stetig, A - >
> > [mm]\IR[/mm]
> > f nimmt auf A das globale Maximum und das globale
> Minimum
> > an.
> > Hallo,
> >
> Hi!
>
> > ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort,
> >
> > es geht bei mir um den Beweis,
> > ich habe eine glitzerkleine Frage
> >
> > also aus der Kompaktheit weiß ich, dass die Funktion
> > beschränkt und abgeschlossen ist. Wenn die Folge [mm]X_n[/mm]
> > beshränkt ist, es existiert entsprechend dem globalen
> > Maximum und dem globalen Minimum Supremum und Infimum, ich
> > nenne den Grenzwert "a"
> >
> > Ist A kompakt, somit existiert für jede Folge [mm]X_n[/mm] einen
> > Häufungspunkt
Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort,
Jetzt wissen wir, dass es eine Teilfolge [mm]X_n_{k},[/mm] existiert, daraus können wir eigentlich schon sagen, dass die Teilfolge auch in dem Grenzwert einen Häufungspunkt hat,
Der Häufungspunkt von der Teilfolge muss nicht zwingend der Grenzwert sein oder? ? ? oder hat eine Teilfolge nur einen Häufungswert ?
Es gibt jetzt noch eine kleine Frage
Wenn ich richtig verstanden habe, aus der Stetigkeit folgt abgeschlossenheit, ich habe in meiner Unterlagen nur einen Widerspruchsbeweis, ich hätte gern gewusst, warum aus der stetigkeit wirklich die Abgeschlossenheit folgt.
mfg zolushka!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Do 14.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die Argumentation ist eigentlich unvollständig, da dort Aussagen über die Folge [mm] $(X_n)_n$ [/mm] fehlen (oder ich habe sie übersehen). Dort sollte stehen:
$A$ ist kompakt, ergo ist $f(A)$ insbesondere beschränkt wegen der Stetigkeit von $f$. Wegen der Vollständigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] existieren daher [mm] $a_1:=\overline{a}=\sup\{f(x): x \in A\}$ [/mm] und [mm] $a_2:=\underline{a}:=\inf\{f(x): x \in A\}$.
[/mm]
Nun sei $t [mm] \in \{1,2\}$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann existiert eine Folge [mm] $(y^{(t)}_n)_n$ [/mm] in $f(A)$ derart, dass [mm] $y^{(t)}_n \to a_t$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Wegen [mm] $y^{(t)}_n \in [/mm] f(A)$ gibt es eine Folge [mm] $(x^{(t)}_n)_n$ [/mm] in $A$ mit [mm] $y^{(t)}_n=f(x^{(t)}_n)$ [/mm] für alle $n$.
[mm] $(x^{(t)}_n)_n$ [/mm] ist nun eine Folge in dem Kompaktum $A$, ergo gibt es eine Teilfolge [mm] $(x^{(t)}_{n_k})_{k \in \IN}$, [/mm] die gegen ein [mm] $x^{(t)} \in [/mm] A$ konvergiert. [mm] $(\*)$
[/mm]
Weil $f$ stetig ist, ist $f$ insbesondere folgenstetig (für metrische Räume steht das in dem Skriptum unten in Satz 10.7 mit drin, es gilt sogar noch allgemeiner, aber Du hast uns nicht die Struktur des Definitionsbereiches von $f$ verraten; ich gehe jetzt einfach mal von $A$ Kompaktum eines metrischen Raumes aus!), was zur Folge hat, dass
[mm] $\lim_{k \to \infty}f(x^{(t)}_{n_k})=f(\lim_{k \to \infty}x^{(t)}_{n_k})=f(x^{(t)})$
[/mm]
Weil aber [mm] $(f(x^{(t)}_{n}))_{n \in \IN}\equiv (y^{(t)}_n)_{n \in \IN}$ [/mm] so gewählt war, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x^{(t)}_{n})=\lim_{n \to \infty}y^{(t)}_{n}=a_t$, [/mm] gilt natürlich auch für die Teilfolge [mm] $(f(x^{(t)}_{n_k}))_{k \in \IN}\equiv (y^{(t)}_{n_k})_{k \in \IN}$, [/mm] dass sie gegen [mm] $a_t$ [/mm] konvergiert, also:
[mm] $a_t=\lim_{k \to \infty}f(x^{(t)}_{n_k})=f(\lim_{k \to \infty}x^{(t)}_{n_k})=f(x^{(t)})$ [/mm] mit insbesondere [mm] $x^{(t)} \in [/mm] A$, vgl. [mm] $(\*)$
[/mm]
Du kannst den Beweis auch hier nochmal in analoger Weise hier nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Satz 11.12 (+ zugehörige Verweise)
P.S.:
> Wenn ich richtig verstanden habe, aus der Stetigkeit folgt
> abgeschlossenheit, ich habe in meiner Unterlagen nur einen
> Widerspruchsbeweis, ich hätte gern gewusst, warum aus der stetigkeit
> wirklich die Abgeschlossenheit folgt.
Wie habt ihr den Abgeschlossenheit definiert? Mit Graphenabgeschlossen?
Oder meinst Du einfach nur, dass $f(A)$ abgeschlossen in [mm] $\IR$ [/mm] ist?
(Letzteres ist leicht einzusehen:
Ist [mm] $(y_n)_n$ [/mm] eine Folge in $f(A)$, die gegen ein $y [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert, so gibt es eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $A$ mit [mm] $y_n=f(x_n)$ [/mm] für jedes $n$. [mm] $(x_n)_n$ [/mm] hat - wegen der Kompaktheit von $A$ - eine in $A$ konvergente Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$, [/mm] also [mm] $x_{n_k} \to [/mm] x$ bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] mit einem $x [mm] \in [/mm] A$. Und damit gilt insbesondere
[mm] $y=\lim_{k \to \infty}y_{n_k}=\lim_{k \to \infty}f(x_{n_k})=f(\lim_{k \to \infty}x_{n_k})=f(x)$ [/mm] (vorletzte Gleichheit wegen der Stetigkeit von $f$) mit $x [mm] \in [/mm] A$, also $y [mm] \in [/mm] f(A)$.
(Wenn Du genau hinguckst, hab' ich das auch schonmal in obigem Beweis genauso benutzt!).)
Und was heißt, dass Du "nur" einen Widerspruchsbeweis hast. Ein Widerspruchsbeweis ist doch ein gültiger Beweis, was stört Dich daran? Oder bist Du nur auf der Suche nach einem "direkten" Beweis?
Zudem könntest Du uns ja mal den Widerpruchsbeweis darlegen und nachfragen bzw. drauf hinweisen, was Dich dort wo stört 
P.P.S.:
Wenn Dich das "hoch $(t)$" stören sollte, dann lass es überall weg. Dann sagst Du zunächst z.B.:
Sei [mm] $a=\sup\{f(x): x \in A\}$...
[/mm]
Und am Ende geht der Fall:
[mm] $a=\inf\{f(x):x \in A\}$ [/mm] dann analog.
Mit diesem $(t)$ bzw. [mm] $a_t$ [/mm] für $t=1,2$ habe ich das einfach nur in einem zusammengefasst, mir persönlich gefällt das so besser, ist aber vll. etwas verwirrend, wenn man's nicht gewöhnt ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 14.02.2008 | | Autor: | zolushka |
Hallo, danke fürs schreiben,
naja ich wollte aus dem Beweis von "aus der stetigkeit folgt abgeschlossenheit" einfach dazu die Definitionen von stetigkeit anschauen, weil wenn ich so sehe... die Stetigkeit von Folgen ist ja so definiert wenn [mm] x_n [/mm] konvergent gegen a, dann [mm] f(x_n) [/mm] konvergent gegen f(a)..
also um a existiert eine Umgebung U_delta und für a existiert ja auch eine f(a) in der [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebung, also [mm] \forall [/mm] x aus der der [mm] \delta- [/mm] Umgebung [mm] \exist \varepsilon [/mm] - Umgebung in der alle f(x) liegen.
und die Abgeschlossenheit haben wir so definiert, dass eine Menge A all ihre Häufungspunkte selbst enthält.
Also wenn die Funktion nicht stetig wäre, dann haben wir keine Teilfolge die gegen den Grenzwert bzw. häufungswert konvergiert, und der Grenzwert bzw. häufungswert ist nicht in der Menge A enthalten. Daraus folgt Widerspruch, dass die Funktion stetig sein muss.
Was ich wissen will ist(Stetigkeit ist ja sehr wichtig, und aus der Stetigkeit folgt ja alles mögliche, Kompaktheit, abgeschlossenheit usw. )
ok aus der stetigkeit folgt ja schon, dass alle häufungswert in der Menge A enthalten sein müssen. also ich verstehe es so.... dass es wegen der Stetigkeit die Menge A all ihre Häufungswerte selbst enthält und was ich nicht verstehe ist, ... in diversen Beweisen stehen, dass wenn [mm] X_n [/mm] konvergent gegen a ist, dann [mm] f(X_n) [/mm] konvergent gegen f(a) ist (da stiimme ich zu) aber dann dieser Häufungswert istb gleich dem Grenzwert... wie es überhaupt dazu kommen könnte,weil die ein häufungswert muss ja nicht der Grenzwert sein oder schon?
Alle Teilfolgen konvergieren auch gegen a, wenn die Folge gegen a konvergiert. also falls es einen Grenzwert gibt, dann alle häufungswerte sind ja gleich und zwar gleich dem Grenzwert. Es existiert keine andere häufungswerte mehr?????
ach das ist so eine geschichte geworden,
was ist eigentlich überdeckung bei kompakten Mengen? ist sie gleich ein Intervall?
ich bedanke mich wirklich aus dem Herzen für die ganze mühe!!
mfg zoloo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Do 14.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zolushka,
könntest Du das ganze ein wenig auf den Punkt bringen bzw. Deine Fragen mal strukturieren bzw. nummerieren? Du bringst da einige Dinge, und ehrlich gesagt blicke ich da am Ende gar nicht mehr durch, was Deine eigentliche Frage ist.
Man kann Stetigkeit allgemein für topologische Räume definieren (http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Weitere_Verallgemeinerung:_Stetige_Funktionen_zwischen_topologischen_R.C3.A4umen), und in
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/Uebung_Funktionalanalysis/Funktionalanalysis12.pdf
steht dann z.B. in Ü34, dass die Stetigkeit die Folgenstetigkeit impliziert (wenn Du's unbedingt willst, kann ich Dir auch dafür den Beweis liefern).
Der Begriff der Kompaktheit steht, bezogen auf metrische Räume, hier in Definition 11.1
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Das kann man fast wortgetreu auch allgemein für topologische Räume so definieren. Was ein topologischer Raum ist, findest Du z.B. hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum
Die Stetigkeit wird - für metrische Räume - in Satz 10.7 und Satz 10.12 charakterisiert, letzteres kann man wieder etwas allgemeiner (und sogar noch mit Zusätzen) für topologische Räume so formulieren, oft benutzt man dort ähnliches sogar als Definition (andernfalls zeigt man die Äquivalenz zu anderen möglichen Definitionen der Stetigkeit in topologischen Räumen).
Eine Überdeckung einer Menge $M$ ist i.a. ein System von Mengen [mm] $\{F_i, i \in I\}$ [/mm] für eine Indexmenge $I$, so dass die Vereinigung der [mm] $F_i$ [/mm] die Menge $M$ enthält, so dass also gilt:
$M [mm] \subset \bigcup_{i \in I}F_i$
[/mm]
In metrischen Raum [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] gibt es Zusammenhänge mit offenen Mengen und offenen Intervallen, aber allgemein muss eine offene Menge so rein gar nichts mit einem Intervall zu tun haben, z.B. in einem topologischen Raum ist eine offene Menge einfach eine Menge der Topologie. Die Topologie ist dann wiederum durch gewisse Eigenschaften ausgezeichnet:
Es ist eine Teilmenge der Potenzmenge einer zugrundeliegenden Grundmenge, beliebige Vereinigungen von Mengen der Topologie müssen wieder ein Element der Topologie sein, endliche Schnitte, die leere Menge und die zugrundeliegende Grundmenge müssen in der Topologie enthalten sein (je nach Literatur wird das letzte nicht gefordert, aber mit einer gewissen Vereinbarung dann gezeigt, dass die leere Menge drin liegt usw.)
Bei einer kompakten Menge fordert man, dass jede OFFENE Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung enthält, d.h. sind die [mm] $F_i$ [/mm] alle offen mit $M [mm] \subset \bigcup_{i \in I}F_i$, [/mm] so gibt es eine endliche Teilmenge $E [mm] \subset [/mm] I$ derart, dass schon $M [mm] \subset \bigcup_{i \in E}F_i$ [/mm] gilt.
Was Du dort mit den Häufungspunkten durcheinanderwirfst, ist mir ganz unklar. Ich habe den Beweis extra ergänzt, denn bei Euch ist unklar, was die Folge [mm] $(X_n)_n$ [/mm] überhaupt für Eigenschaften haben soll.
Wenn ich bei Eurem Beweis bleibe:
$f(A)$ ist beschränkte Teilmenge des vollst. metr. Raumes [mm] $(\IR,d_{|.|})$. [/mm] Ohne Einschränkung sei [mm] $a:=\sup\{f(x):x\in A\}$. [/mm] Dann gibt es [mm] $Y_n \in [/mm] f(A)$ mit [mm] $Y_n \to [/mm] a$. Wegen [mm] $Y_n \in [/mm] f(A)$ existiert zu jedem [mm] $Y_n$ [/mm] (mindestens) ein [mm] $X_n \in [/mm] A$ mit [mm] $f(X_n)=Y_n$, [/mm] wir wählen zu jedem [mm] $Y_n$ [/mm] genau eines und erhalten so eine Folge [mm] $(X_n)_n$ [/mm] in $A$ mit [mm] $(f(X_n))_n\equiv(Y_n)_n$
[/mm]
Und erst jetzt kommt zum tragen, dass [mm] $(X_n)_n$ [/mm] eine Folge im Kompaktum $A$ ist und daher konvergiert eine Teilfolge [mm] $(X_{n_k})_k$ [/mm] gegen ein $x [mm] \in [/mm] A$. Und wegen der Stetigkeit und damit auch Folgenstetigkeit von $f$ folgt dann
[mm] $Y_{n_k}=f(X_{n_k}) \to [/mm] f(x)$ bei $k [mm] \to \infty$
[/mm]
Aber es galt [mm] $Y_n \to [/mm] a$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] nach der Wahl der Folge [mm] $(Y_n)_n$, [/mm] also gilt auch [mm] $Y_{n_k} \to [/mm] a$ bei $k [mm] \to \infty$, [/mm] da jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert, und zwar gegen eben den Grenzwert der Folge.
Das hat $a=f(x)$ mit $x [mm] \in [/mm] A$ zur Folge, also $a [mm] \in [/mm] f(A)$.
Das ist jetzt nochmal der Beweis, halt nur für [mm] $a=\sup [/mm] f(A)$, und dort wurde dann [mm] $\sup f(A)=\max [/mm] f(A)$ gezeigt. Für [mm] $a=\inf [/mm] f(A)$ geht das alles vollkommen analog.
Also wie gesagt:
Mir ist unklar, was Dir unklar ist, ich habe das Gefühl, Du wirfst da einiges durcheiander oder beachtest einige Dinge nicht. Daher wäre es ganz gut, wenn Du Deine Fragen mal strukturieren, also möglichst zusammenfassen und nummerieren würdest, damit man sich so nach und nach Deinen Problemen annehmen kann und die Dinge (er)klären kann.
P.S.:
> und die Abgeschlossenheit haben wir so definiert, dass eine Menge A all
> ihre Häufungspunkte selbst enthält.
Okay, es geht hier sowieso wahrscheinlich "nur" um metrische Räume. Vll. solltest Du mal das obige Skriptum ab Kapitel 8 bis Kapitel 11 oder 12 durchgucken (durcharbeiten?), wir haben dort den Abschluss zwar etwas anders definiert (analog zum topologischen Raum: Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn deren Komplement offen ist), aber in Satz 9.14 steht das, was ihr als Definition hergenommen habt. Den Satz 9.15 habe ich in dem anderen Post benutzt, um dort die Abgeschlossenheit von $f(A)$ - mit einem Kompaktum $A$ und einer stetigen Funktion $f$ - zu begründen.
Gruß,
Marcel
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