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hallo ich habe wieder ein mathe verständnisbeginn problem^^
die aufgabe lautet:
"Beweisen Sie, das jede stetige funktion, die ein abgeschlossenes Intervall in sich abbildet, dort einen Fixpunkt besitzt.
Formaler:
ist [mm]f : \left[ a,b \right] \to \left[ a,b \right][/mm] stetig so gibt es ein [mm]p\in \left[ a,b \right][/mm] mit [mm]f(p)=p[/mm]
Hinweis: wenden sie den zwischenwert satz auf eine passende hilfsfunktion an."
hier meine idee
Sei g(x)=f(x)-x
Dann ist g stetig, da f stetig ist
auf [a;b] besitzt g einen minimum so dass g(x)<0 und ein maximum, so dass g(x)>0
Nach dem Zwischenwertsatz muss es also auch ein Wert geben, so dass g(x)=0.
Dass ist der Fall wenn f(x)=x
Es existiert also mindestens ein Fixpunkt auf [a;b]
is das ok??danke für "durchchecken"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 So 17.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hallo ich habe wieder ein mathe verständnisbeginn
> problem^^
>
> die aufgabe lautet:
>
> "Beweisen Sie, das jede stetige funktion, die ein
> abgeschlossenes Intervall in sich abbildet, dort einen
> Fixpunkt besitzt.
> Formaler:
>
> ist [mm]f : \left[ a,b \right] \to \left[ a,b \right][/mm] stetig so
> gibt es ein [mm]p\in \left[ a,b \right][/mm] mit [mm]f(p)=p[/mm]
>
> Hinweis: wenden sie den zwischenwert satz auf eine passende
> hilfsfunktion an."
>
>
> hier meine idee
>
> Sei g(x)=f(x)-x
> Dann ist g stetig, da f stetig ist
> auf [a;b] besitzt g einen minimum so dass g(x)<0 und ein
> maximum, so dass g(x)>0
> Nach dem Zwischenwertsatz muss es also auch ein Wert
> geben, so dass g(x)=0.
> Dass ist der Fall wenn f(x)=x
> Es existiert also mindestens ein Fixpunkt auf [a;b]
>
> is das ok??danke für "durchchecken"
Ich denke, dass ist so okay.
Aber schreib die Begründungen evtl noch etwas ausführlicher:
Also
g(x)=f(x)-id(x) ist Stetig, weil f nach Vorauss. und die Indentität ebenfalls stetig ist, und weil die Summe zweier Stetiger Funktionen ebenfalls stetig ist.
Marius
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