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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Mi 02.01.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | (a) Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] stetig und es gelte f(x+y)=f(x)+f(y) für alle [mm] x,y\in\IR, [/mm] Zeige: Es existiert [mm] a\in\IR [/mm] so dass f(x)=ax für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
(Tip: Setze a:=f(1) und betrachte nacheinander f(n), [mm] f(\bruch{n}{m}) [/mm] für [mm] n,m\in\IN, [/mm] f(q) für [mm] q\in\IQ [/mm] und f(r) für [mm] r\in\IR.)
[/mm]
(b) Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] stetig und es gelte f(x+y)=f(x)*f(y) für alle [mm] x,y\in\IR. [/mm] Zeige: Entweder gilt f(x)=0 für alle [mm] x\in\IR [/mm] oder es existiert [mm] a\in\IR_+, [/mm] so dass [mm] f(x)=a^x [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] |
Komm ich garnicht drauf klar...kann mir jemand nen kleinen Tip zum Einstieg geben, vielleicht komm ich dann weiter?
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> (a) Sei [mm]f:\IR\to\IR[/mm] stetig und es gelte f(x+y)=f(x)+f(y)
> für alle [mm]x,y\in\IR,[/mm] Zeige: Es existiert [mm]a\in\IR[/mm] so dass
> f(x)=ax für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> (Tip: Setze a:=f(1) und betrachte nacheinander f(n),
> [mm]f(\bruch{n}{m})[/mm] für [mm]n,m\in\IN,[/mm] f(q) für [mm]q\in\IQ[/mm] und f(r)
> für [mm]r\in\IR.)[/mm]
> (b) Sei [mm]f:\IR\to\IR[/mm] stetig und es gelte f(x+y)=f(x)*f(y)
> für alle [mm]x,y\in\IR.[/mm] Zeige: Entweder gilt f(x)=0 für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] oder es existiert [mm]a\in\IR_+,[/mm] so dass [mm]f(x)=a^x[/mm] für
> alle [mm]x\in\IR[/mm]
> Komm ich garnicht drauf klar...kann mir jemand nen kleinen
> Tip zum Einstieg geben, vielleicht komm ich dann weiter?
Hallo,
der kl. Tip zum Einstieg steht doch schon in der Aufgabe:
> (Tip: Setze a:=f(1) und betrachte nacheinander f(n) ...
Hast Du das getan, was hast Du erreicht?
Ach, noch ein Tip zum Tip: [mm] n=\underbrace{1+1+...+1}_{n-mal}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 So 06.01.2008 | | Autor: | SpoOny |
ich zeige ja im Prinzp nacheinander es gibt dieses a für
f : [mm] \IN \to \IN [/mm] f: [mm] \IQ \to \IQ [/mm] und im letzten Schritt f: [mm] \IR \to \IR [/mm] und hab damit die Behauptung bewiesen.
für f(n)= [mm] f(\underbrace{1+1+....+1}_{n mal})=an
[/mm]
bekomme ich das auch noch hin, aber bei [mm] f(\bruch{n}{m}) [/mm] hab ich schon Probleme muss ich hier eine Fallunterscheidung mach für m<n, m>n und m=n ?
LG
SpoOny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 So 06.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich zeige ja im Prinzp nacheinander es gibt dieses a für
>
> f : [mm]\IN \to \IN[/mm] f: [mm]\IQ \to \IQ[/mm] und im letzten Schritt f:
> [mm]\IR \to \IR[/mm] und hab damit die Behauptung bewiesen.
>
> für f(n)= [mm]f(\underbrace{1+1+....+1}_{n mal})=an[/mm]
>
> bekomme ich das auch noch hin, aber bei [mm]f(\bruch{n}{m})[/mm] hab
> ich schon Probleme muss ich hier eine Fallunterscheidung
> mach für m<n, m>n und m=n ?
Nein. Allerdings reicht es, den Fall n<m zu betrachten, da
[mm] f(\bruch{n}{m}) = f(1+\bruch{n-m}{m}) [/mm].
Tipp: [mm]f(n) = f(m*\bruch{n}{m}) = f(\underbrace{\bruch{n}{m}+\dots+\bruch{n}{m}}_{\text{$m$ mal}})[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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