Stetige Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{T}) [/mm] ein Topologischer Raum und sei [mm] D:=\{\bruch{n}{2^{m}}|n, m\in\IZ\}\cap[0,1] [/mm] die Menge der dyadischen Zahlen zwischen 0 und 1.
Für alle a, [mm] b\in [/mm] D mit a<b seien [mm] U_{a}, U_{b}\in \mathcal{T} [/mm] gegeben mit [mm] \overline{U_{a}}\subset U_{b}
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann die folgende Abbildung stetig ist:
[mm] f:X\to[0,1]
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\notin U_{1} \\ inf\{a|x\in U_{a}\}, & \mbox{für } x\in U_{1} \end{cases} [/mm] |
Heyho!
Also eine Abbildung heißt ja stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind...
Aber irgendwie weiß ich nicht, wie man dies hierbei zeigen könnte.
Was ist denn [mm] f^{-1}(B_{\varepsilon}(x)) [/mm] für [mm] x\in[0,1] [/mm] und geeignetes [mm] \varepsilon>0?
[/mm]
Das muss doch irgendwas mit diesen offenen Mengen [mm] U_{a} [/mm] zu tun haben. Den Zusammenhang erkenn ich aber noch nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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