Steigung am Ursprung - Schar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 So 12.02.2012 | | Autor: | sensen94 |
| Aufgabe | ft(x)=100t²x²e^(-tx)
Die Steigung am Ursprung soll berechnet werden (mit einem beliebigen Wert für t, in meinem Beispiel 0,11111) |
ft'(x)=100t²e^(-tx)(2x-tx²)
Um die Steigung am Ursprung zu berechnen, habe ich in die erste Ableitung für x 0 eingesetzt und für t 0,11111. Natürlich kommt der Wert 0 raus, was mir aber nicht als logisch erscheint, wenn ich mir die Kurve auf einem Taschenrechner ansehe. Man kann sehen, dass die Kurve bis 0/0 fällt und ab diesem Punkt erneut ansteigt.
Meine Rechnung:
f0,11111(0)=100*0,11111²*e^(-0,11111*0)*(2*0-0,11111*0²)
=1,23*0
=0
Wo genau liegt mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Deine Funktion ist geplottet eine "Parabel" (in der Umgebung des Ursprungs!), die ihren Tiefpunkt bei 0/0 hat, also eine Steigung von 0 in diesem Punkt. Jedenfalls für kleine Werte von t im Bereich von 1-3. Danach verläuft sie anders, behält aber einen TP bei 0/0. Insgesamt ergibt sich eher das Bild einer Glockenkurve. Die Ableitung ist mit Produktregel:
[mm] $f'(x)=100t^22xe^{-tx}+100t^2x^2e^{-tx}(-t)$ [/mm] Dort kann nur 0 herauskommen.
> ft(x)=100t²x²e^(-tx)
> Die Steigung am Ursprung soll berechnet werden (mit einem
> beliebigen Wert für t, in meinem Beispiel 0,11111)
> ft'(x)=100t²e^(-tx)(2x-tx²)
> Um die Steigung am Ursprung zu berechnen, habe ich in die
> erste Ableitung für x 0 eingesetzt und für t 0,11111.
> Natürlich kommt der Wert 0 raus, was mir aber nicht als
> logisch erscheint, wenn ich mir die Kurve auf einem
> Taschenrechner ansehe. Man kann sehen, dass die Kurve bis
> 0/0 fällt und ab diesem Punkt erneut ansteigt.
> Meine Rechnung:
>
> f0,11111(0)=100*0,11111²*e^(-0,11111*0)*(2*0-0,11111*0²)
> =1,23*0
> =0
> Wo genau liegt mein Fehler?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 12.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ft(x)=100t²x²e^(-tx)
> Die Steigung am Ursprung soll berechnet werden (mit einem
> beliebigen Wert für t, in meinem Beispiel 0,11111)
> ft'(x)=100t²e^(-tx)(2x-tx²)
> Um die Steigung am Ursprung zu berechnen, habe ich in die
> erste Ableitung für x 0 eingesetzt und für t 0,11111.
> Natürlich kommt der Wert 0 raus, was mir aber nicht als
> logisch erscheint, wenn ich mir die Kurve auf einem
> Taschenrechner ansehe. Man kann sehen, dass die Kurve bis
> 0/0 fällt und ab diesem Punkt erneut ansteigt.
Fallend heisst doch gerade, dass f'(x)<0, Steigend, dass f'(x)>0.
Und da die Funktion und auch die Ableitung stetig ist, muss sie in dem Intervall um 0 auch irgednwann den Wert 0 annehmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 12.02.2012 | | Autor: | sensen94 |
| Aufgabe | | Der maximale Neigungswinkel der Abfahrt soll 70° sein. Für welches t wird dies erfüllt? |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Jedoch komme ich mit der nächsten Teilaufgabe nicht wirklich klar. Muss ich dafür tan(70) mit der 1. Ableitung gleichsetzen, für x 0 einsetzten und nach t auflösen?
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Hallo sensen94,
> Der maximale Neigungswinkel der Abfahrt soll 70° sein.
> Für welches t wird dies erfüllt?
> Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Jedoch komme ich mit
> der nächsten Teilaufgabe nicht wirklich klar. Muss ich
> dafür tan(70) mit der 1. Ableitung gleichsetzen, für x 0
> einsetzten und nach t auflösen?
Nein.
Zunächst musst Du das Maximum der 1. Ableitung bestimmen.
Das geschieht durch Nullsetzen der 2. Ableitung.
Die Lösung setzt Du dann in die 1. Ableitung ein,
und setzt diese [mm]tan(-70^{\circ})[/mm], "-" deshalb,
weil es sich um einen Neigungswinkel handelt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 12.02.2012 | | Autor: | sensen94 |
Den Hochpunkt hatte ich bereits bestimmt:
H(2/t|100t²*(2/t)²*e^(-t*2/t))
Also ganz einfach 100t²*e^(-t*2/t)*(2*2/t-t*(2/t)²)=tan(-70)?
EDIT: tut mir Leid, habe es wohl missverstanden. Also den Wendepunkt berechnen, den x-Wert in die erste Ableitung einsetzen und dies mit tan(70°) gleichsetzen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 So 12.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
>
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> EDIT: tut mir Leid, habe es wohl missverstanden. Also den
> Wendepunkt berechnen, den x-Wert in die erste Ableitung
> einsetzen und dies mit tan(70°) gleichsetzen oder?
>
Fast. Prüfe, ob [mm] f'(x_{w})<\tan(70°)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 12.02.2012 | | Autor: | sensen94 |
Wie kann ich das denn überprüfen, wenn ich keinen Wert für t habe? Meine Aufgabe ist es ja, den Wert für t zu bestimmen, der dafür sorgt, dass der maximale Neigungswinkel 70° beträgt. :S Oder verstehe ich da etwas falsch?
Außerdem weiß ich überhaupt nicht, wie ich mit den Zeichen < oder > operieren soll, habe sie bisher noch nie benutzt für Rechnungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 12.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Wie kann ich das denn überprüfen, wenn ich keinen Wert
> für t habe? Meine Aufgabe ist es ja, den Wert für t zu
> bestimmen, der dafür sorgt, dass der maximale
> Neigungswinkel 70° beträgt. :S Oder verstehe ich da etwas
> falsch?
Dann bestimme t so, dass das Gefälle im Wendepunkt genau 70° beträgt, also:
[mm] f_{t}'(x_{w})=\tan(-70°)
[/mm]
> Außerdem weiß ich überhaupt nicht, wie ich mit den
> Zeichen < oder > operieren soll, habe sie bisher noch nie
> benutzt für Rechnungen.
Das kann ich mir in einem Mathe-LK nun wahrlich nicht vorstellen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 12.02.2012 | | Autor: | sensen94 |
Nochmals danke für die Hilfe!
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