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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Sei f mit f(x) = [mm] (ax^2+bx+c)*e^{0,5x} [/mm] eine reele Funktion, deren Graph die x-Achse an der Stelle -1 schneidet sowie an der Stelle 0 die Steigung -2 und die Krümmung 0,5 hat. Bestimmen Sie f(x). |
Hallo. Mir fehlt ein Ansatz und vor allem was ich ins Gauss reinschreib, wegen dem e:
f(-1) = 0
f'(0) = -2
.... Krümmung 0,5 ???
Und was mache ich mit dem e? Die Elemente im Lösungsvektor einfach durch e teilen? ...
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> Sei f mit f(x) = [mm](ax^2+bx+c)*e^{0,5x}[/mm] eine reele Funktion,
> deren Graph die x-Achse an der Stelle -1 schneidet sowie an
> der Stelle 0 die Steigung -2 und die Krümmung 0,5 hat.
> Bestimmen Sie f(x).
> Hallo. Mir fehlt ein Ansatz und vor allem was ich ins
> Gauss reinschreib, wegen dem e:
>
> f(-1) = 0
> f'(0) = -2
> .... Krümmung 0,5 ???
Krümmung weißt auf die Bedeutung der 2. Ableitung hin, also wäre dein Ansatz: f''(0)=0,5
>
> Und was mache ich mit dem e? Die Elemente im Lösungsvektor
> einfach durch e teilen? ...
Nun, das e stört doch niemanden, du setzt ja für x eine Zahl ein und da keine Variable vor x steht, wird [mm] e^c [/mm] doch eine schöne Zahl, mit der du rechnen kannst...
I [mm]\Rightarrow 0=(a-b+c)*e^{-0,5}[/mm]
II [mm]\Rightarrow f'(0)=-2[/mm]
III [mm]\Rightarrow f''(0)=0,5[/mm]
Gerade keine Lust, die Ableitungen zu bilden ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Ok. Soweit so gut. Was ist mit dem [mm] e^c [/mm] gemeint?
Und wie schreibe ich die erste Zeile ins LGS?
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[mm] e^{-0.5} [/mm] ist doch eine Konstante, d.h. aus
[mm] (a-b+c)*e^{-0.5} [/mm] = 0
wird
[mm] e^{-0.5}*a [/mm] - [mm] e^{-0.5}*b [/mm] + [mm] e^{-0.5}*c [/mm] = 0
mit
[mm] e^{-0.5} \approx [/mm] 0.60653...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
Adamantin ist da ein Fehler mit der Krümmung unterlaufen.
Die Krümmung an einer Stelle der Funktion ist:
[mm] $\kappa(x) [/mm] = [mm] \bruch{y''(x)}{\left(\wurzel{1+(y'(x))^2}\right)^3}$
[/mm]
Für x=0 gilt dann [mm] \kappa [/mm] = 0,5.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Adamantin |
ups lol...dankeschön...ich habe diese Formel als LKler bisher noch nie gesehen und auch nicht gewusst, dass es sie gibt, da habe ich wohl fehlerhafte, lückenhafte Informationen, danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
Die Ableitungen sind:
$y = [mm] (ax^2+bx+c)*e^{0,5*x}$
[/mm]
$y' = [mm] \left(\bruch{a}{2}x^2+\left(2a+\bruch{b}{2}\right)x+b+\bruch{c}{2}\right)*e^{0,5*x}$
[/mm]
$y'' = [mm] \left(\bruch{a}{4}x^2+\left(2a+\bruch{b}{4}\right)x+2a+b+\bruch{c}{4}\right)*e^{0,5*x}$
[/mm]
Die Bedingungen sind:
I $y(-1)=0$ ; [mm] \Rightarrow [/mm] a+c=b
II $y'(0)=-2$ ; [mm] \Rightarrow $b+\bruch{c}{2}=-2$
[/mm]
[mm] \Rightarrow $a+\bruch{3}{2}c=-2$
[/mm]
III [mm] $\kappa(0)=0,5$
[/mm]
$y''(0) = [mm] 2a+b+\bruch{c}{4}$
[/mm]
$y'(0)=-2$
[mm] $\kappa(0)=\bruch{y''(0)}{\left(\wurzel{1+(y'(0))^2} \right)^3}=\bruch{y''(0)}{\left(\wurzel{1+(-2)^2} \right)^3}=\bruch{2a+b+\bruch{c}{4}}{\wurzel{125}}=0,5$
[/mm]
[mm] $2a+b+\bruch{c}{4}=0,5*\wurzel{125}$
[/mm]
daraus
1. [mm] $2a+\bruch{c}{4}=0,5*\wurzel{125}+2$
[/mm]
2. [mm] $a+\bruch{3}{2}c=-2$
[/mm]
ergibt näherungsweise
a=3,3493 b=-0,2169 c=-3,5662
LG, Martinius
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