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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mi 04.08.2010 | | Autor: | Selageth |
| Aufgabe | Das Gewicht von Schrauben ist [mm] (\mu,\sigma)-normalverteilt [/mm] mit [mm] \sigma [/mm] = 1g.
Welches mittlere Gewicht haben die Schrauben, wenn außerdem gilt, dass 30% der Schrauben weniger als 5,5g wiegen?
[Hinweis: Wert aus SNV-Tabelle nach der Methode "nächster Nachbar" ablesen] |
Hallo zusammen. Ich habe Probleme bei der o.A. Aufgabe auf die korrekte Lösung zu kommen. Da das mittlere Gewicht, also der Erwartungswert gesucht ist, muss man ja [mm]mu[/mm] ermitteln. Zunächst ein mal, was ich gerechnet habe. SNV steht dabei für "Standardnormalverteilung".
Es gilt: 30% der Schrauben wiegen weniger als 5,5g. Also:
P(X [mm] \le [/mm] 5,5g) = 0,3
=> [mm] P(\bruch{X-\mu}{\sigma} \le \bruch{5,5g-\mu}{\sigma}) [/mm] = 0,3
=> P(z [mm] \le [/mm] 5,5 - [mm] \bruch{\mu}{g}) [/mm] = 0,3
=> [mm] \phi(5,5-\bruch{\mu}{g}) [/mm] = 0,3
Wenn man für Phi in der Standardnormalverteilung 1.0 wählt:
=> 1 * [mm] (5,5-\bruch{\mu}{g}) [/mm] = 0,3
Da 0,3 < 0,5 ist müsste man ja den Wert aus der SNV negativ ablesen. Oder aber vorher die Aussage umformen. Aus "X ist 30% wahrscheinlich" wird also "nicht-X ist 70% wahrscheinlich":
=> 1 * [mm] (\bruch{\mu}{g} [/mm] - 5,5) = 0,7
Soweit ist alles klar. Hier scheiden sich aber die Geister. Ich persönlich würde jetzt nach mu auflösen:
=> [mm] \mu [/mm] = 0,7 + 5,5 * g
=> [mm] \mu [/mm] = 6,2g
Die Lösung soll aber so aussehen:
=> [mm] \bruch{\mu}{g} [/mm] - 5,5 = 0,52
=> [mm] \mu [/mm] = 6,02g
Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiß, woher die "0,52" auf der rechten Seite der Gleichung plötzlich auftauchen. Da Phi ja 1,0 sein soll, ist das Z-Quantil gleich 0,8413 laut Tabelle. Muss ich das noch irgendwie mit den 5,5g oder den 70% verrechnen, um auf die 6,02 für mu zu kommen?
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> Das Gewicht von Schrauben ist [mm](\mu,\sigma)-normalverteilt[/mm]
> mit [mm]\sigma[/mm] = 1g.
(nur nebenbei: physikalisch exakt ausgedrückt sprechen wir
von der Masse der Schrauben) 
> Welches mittlere Gewicht haben die Schrauben, wenn
> außerdem gilt, dass 30% der Schrauben weniger als 5,5g
> wiegen?
> [Hinweis: Wert aus SNV-Tabelle nach der Methode "nächster
> Nachbar" ablesen]
> Hallo zusammen. Ich habe Probleme bei der o.A. Aufgabe auf
> die korrekte Lösung zu kommen. Da das mittlere Gewicht,
> also der Erwartungswert gesucht ist, muss man ja [mm]mu[/mm]
> ermitteln. Zunächst ein mal, was ich gerechnet habe. SNV
> steht dabei für "Standardnormalverteilung".
>
> Es gilt: 30% der Schrauben wiegen weniger als 5,5g. Also:
>
> P(X [mm]\le[/mm] 5,5g) = 0,3 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das "g" für "Gramm" würde ich aus der Rechnung weglassen !
> => [mm]P(\bruch{X-\mu}{\sigma} \le \bruch{5,5g-\mu}{\sigma})\ =\ 0,3[/mm]
>
>
> (*) => P(z [mm]\le[/mm] 5,5 - [mm]\bruch{\mu}{g})[/mm] = 0,3
>
> => [mm]\Phi(5,5-\mu)[/mm] = 0,3
(ich habe jetzt das "g" weggelassen)
[mm] \Phi [/mm] ist die Standardnormalverteilungsfunktion
> Wenn man für Phi in der Standardnormalverteilung 1.0 wählt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Neeein ! Hier ist der schlimme Fehler. [mm] \Phi [/mm] ist nicht ein Faktor,
sondern eine Funktion (für die man die Tabelle braucht)
Du verwechselst hier offenbar [mm] \Phi [/mm] mit der Standardabweichung [mm] \sigma [/mm] !
Dass in der vorliegenden Aufgabe [mm] \sigma=1 [/mm] ist, hast du übrigens
etwas weiter oben, beim (*) , schon verwendet !
>
> => 1 * [mm](5,5-\bruch{\mu}{g})[/mm] = 0,3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Da 0,3 < 0,5 ist müsste man ja den Wert aus der SNV
> negativ ablesen. Oder aber vorher die Aussage umformen. Aus
> "X ist 30% wahrscheinlich" wird also "nicht-X ist 70%
> wahrscheinlich"
Da du oben die Vorzeichen nicht verdreht hast, musst du
sie auch jetzt nicht verdrehen.
>
> => 1 * [mm](\bruch{\mu}{g}[/mm] - 5,5) = 0,7
>
> Soweit ist alles klar.
War es offenbar aber überhaupt nicht ...
> Ich persönlich würde jetzt nach mu auflösen:
>
> => [mm]\mu[/mm] = 0,7 + 5,5 * g
>
> => [mm]\mu[/mm] = 6,2g
>
>
> Die Lösung soll aber so aussehen:
>
> => [mm]\bruch{\mu}{g}[/mm] - 5,5 = 0,52
>
> => [mm]\mu[/mm] = 6,02g
>
>
>
> Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiß, woher die
> "0,52" auf der rechten Seite der Gleichung plötzlich
> auftauchen. Da Phi ja 1,0 sein soll, ist das Z-Quantil
> gleich 0,8413 laut Tabelle. Muss ich das noch irgendwie mit
> den 5,5g oder den 70% verrechnen, um auf die 6,02 für mu
> zu kommen?
(sorry, aber da veranstaltest du ein Riesenchaos ...)
Wir hatten die Gleichung [mm]\Phi(\underbrace{5,5-\mu}_z)\ =\ 0,3 [/mm]
Nun löst man zunächst mit Hilfe der Tabelle die Gleichung
[mm]\Phi(z)\ =\ 0,3 [/mm]
nach z auf. Das Ergebnis ist (mittels Interpolation) :
$\ z\ =\ [mm] \Phi^{-1}(0.3)\ \approx\ [/mm] -0.524$
Hinweis zur Tabellenbenützung:
[mm] $\Phi^{-1}(0.3)\ [/mm] =\ [mm] -\Phi^{-1}(1-0.3)\ [/mm] =\ [mm] -\Phi^{-1}(0.7)$ [/mm]
Damit kommen wir auf
$\ z\ =\ [mm] 5.5-\mu\ \approx\ [/mm] -0.524$
und also: [mm] $\mu\ \approx\ [/mm] 5.5+0.524\ =\ 6.024$
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mi 04.08.2010 | | Autor: | Selageth |
Jawoll! Danke. Habe mich total verfranst aber jetzt ist alles klar.
Sehr gut erklärt, danke für die ausführliche Antwort. 
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