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Forum "mathematische Statistik" - Statistik suffizient?
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Statistik suffizient?: kleines Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Mo 19.12.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Gegeben sei eine i.i.d. Stichprobe [mm] $X=(X_1,...,X_n)$ [/mm] eines [mm] $\text{Exp}(\lambda)$ [/mm] - verteilten Merkmals $Y$, [mm] $\lambda>0$. [/mm]

Zeige, daß die Statistik [mm] $T(\vec X)=\sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] suffizient für [mm] $\lambda$ [/mm] ist.
Sind die Statistiken [mm] $\overline{X}$ [/mm] und [mm] $1/\overline{X}$ [/mm] ebenfalls suffizient?

Hallo, liebe Vorhelfer- und Vorhelferinnen!

Also der erste Teil ist ja eigentlich nicht schwer, da benutze ich einfach das Neyman-Kriterium bzw. den Faktorisierungssatz:

[mm] $f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}=\underbrace{1}_{=:h(\vec X)}\cdot \underbrace{\lambda^n\cdot e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}}_{=:g(T(\vec X)|\lambda)}$ [/mm]

Schon weiß man, daß $T(X)$ suffizient ist.


Aber was ist mit [mm] $\overline{X}$ [/mm] und [mm] $1/\overline{X}$? [/mm]

Intuitiv würde ich sagen: Nein, sie sind nicht suffizient, weil die obige Faktorisierung ja zeigt, daß sie in der Faktorisierung nicht vorkommen.


Vllt. könnt Ihr mir hier auf die Sprünge helfen?

Thank you!



        
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Statistik suffizient?: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Mo 19.12.2011
Autor: mikexx

Also ich glaube, ich hatte gerade ein Brett vor dem Kopf:

Ich kann's doch einfach so machen:

[mm] $f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}=\lambda^n\cdot e^{-n\lambda\cdot \overline{X}}$ [/mm] und schon sieht man, daß [mm] $\overline{X}$ [/mm] auch suffiziente Statistik ist, oder?

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Statistik suffizient?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Mo 19.12.2011
Autor: luis52

Moin,

> und schon sieht man, daß [mm]\overline{X}[/mm] auch suffiziente
> Statistik ist, oder?

[ok]

Und fuer [mm] $1/\bar [/mm] X$ geht's analog. Du kannst die Aussage []hier auf Seite 60 oberhalb von Minimal sufficiency finden.

vg Luis


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Statistik suffizient?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Mo 19.12.2011
Autor: mikexx

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Wie kann ich's denn bei $1/\overline{X}$ schreiben?

$f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot e^{-\lambda\cdot \frac{1}{\overline{X}}\cdot \frac{1}{n}\cdot \left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2}$?

Also anders geschrieben, damit man sieht, dass die eine Funktion nur von $\lambda$ und $1/\overline{X}$ abhängt:

$f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot e^{z}$ mit $z=-n\lambda\cdot\left(\frac{1}{\frac{1}{\overline{X}}}\right)^2\cdot\frac{1}{\overline{X}}}$

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Statistik suffizient?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mo 19.12.2011
Autor: luis52

Moin,

direkter so:

$ [mm] f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot \exp[-\lambda\cdot \frac{n}{1/\bar X}] [/mm] $.

vg Luis

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Statistik suffizient?: Dankeschön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Mo 19.12.2011
Autor: mikexx

Das ist natürlich viel schöner.

Vielen lieben Dank!

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