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Standardskalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Mi 30.05.2012
Autor: eddiebingel

Aufgabe
Sei V := [mm] \IR^{n}. [/mm] Sei <., .>_{s} : V x V [mm] \to \IR [/mm] das Standard-Skalarprodukt. Betrachte die Abbildung L : V [mm] \to [/mm] V*, v [mm] \mapsto L_{v}, [/mm]
wobei [mm] L_{v} [/mm] = <u, v>_{s} ist. Zeige L ist ein wohldefinierter Isomorphismus.

Hallo zusammen hier muss ich einen wohldefinierten Isomorphismus zeigen
also: Linearität,Bijetivität und [mm] L_{v} \in [/mm] V*

Gezeigt habe ich schon die Linearität und die Injektivität bei der Surjektivität habe ich allerdings schon Probleme da ich mt der Definition nicht weiterkomme
Ich muss ja zeigen dass [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] V*: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] V : [mm] L_{v}(x) [/mm] = y
Hoffe habt ihr Ideen für mich

lg eddie

        
Bezug
Standardskalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Mi 30.05.2012
Autor: fred97


> Sei V := [mm]\IR^{n}.[/mm] Sei <., .>_{s} : V x V [mm]\to \IR[/mm] das
> Standard-Skalarprodukt. Betrachte die Abbildung L : V [mm]\to[/mm]
> V*, v [mm]\mapsto L_{v},[/mm]
> wobei [mm]L_{v}[/mm] = <u, v>_{s} ist. Zeige L ist ein
> wohldefinierter Isomorphismus.
>  Hallo zusammen hier muss ich einen wohldefinierten
> Isomorphismus zeigen
>  also: Linearität,Bijetivität und [mm]L_{v} \in[/mm] V*
>  
> Gezeigt habe ich schon die Linearität und die
> Injektivität bei der Surjektivität habe ich allerdings
> schon Probleme da ich mt der Definition nicht weiterkomme
>  Ich muss ja zeigen dass [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] V*: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] V
> : [mm]L_{v}(x)[/mm] = y
>  Hoffe habt ihr Ideen für mich

Du hast nicht verstanden, worum es geht. Das liegt vielleicht daran, dass der Aufgabensteller zuviele L eingebaut hat.

Ich formuliere es mal um.

Sei T : V $ [mm] \to [/mm] $ V* wie folgt definiert:

    ist v [mm] \in [/mm] V, so ist T(v) [mm] :=L_v, [/mm]

also

             $T(v)(x)=<x,v>_s $  für x [mm] \in \IR^n. [/mm]

Für die Surjektivität von T mußt Du zeigen:

Ist f [mm] \in V^{\star}, [/mm] so gibt es ein v [mm] \in [/mm] V mit: $f(x)=<x,v>_s$  für alle x [mm] \in \IR^n. [/mm]

FRED


>  
> lg eddie


Bezug
        
Bezug
Standardskalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 Mi 30.05.2012
Autor: fred97

Eine Bemerkung zu obiger Aufgabe, besser gesagt zur Formulierung der Aufgabenstellung:

würde ich Lineare Algebra lesen (was ich schon getan habe) und würde der (die) mir zugeordnete Übungsleiter(in) mit obigem Aufgabenvorschlag, mit obiger Formulierung, kommen, so würde ich ihm (ihr) das Papier um die Ohren hauen und ihn (sie) fragen, ob er (sie) eigentlich noch ganz klar im Kopf ist.

Warum ? Darum: obige Formulierung lässt, für Anfänger,  kaum erkennen, worum es eigentlich geht. Die verschwurbelte Ausdrucksweise und die völlig überfrachtete Bezeichnungsweise stiften zusätzlich noch mehr Verwirrung. Ein Erkenntnisgewinn ist fast auszuschließen (wie gesagt für Anfänger (aber diesen wollen wir doch die Mathematik schmackhaft machen )).

Worum geht es ? Darum: der [mm] \IR^n [/mm] ist "selbstdual".  Damit ist gemeint:

(1) Ist v [mm] \in \IR^n, [/mm] so wird durch [mm] f_v(x):= [/mm] eine Linearform auf [mm] \IR^n [/mm] (also ein Element des Dualraumes von [mm] \IR^n) [/mm] definiert.

(2) Ist umgekehrt f ein Element des Duals von [mm] \IR^n, [/mm] so gibt es genau ein v [mm] \in \IR^n [/mm] mit:

                   f(x)=<x,v> für alle x [mm] \in \IR^n. [/mm]


Meinungen zu meiner Kritik sind willkommen.

FRED



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