Stammfunktionen & "aufleiten" < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe festgestellt, dass ich eigentlich gar nicht so genau weiß was eine Stammfunktion ist bzw, wie man "aufleitet" Bzw wie die Regeln lauten...
Was ich glaube zu wissen ist:
-eine Stammfunktion bekommt man durch integrieren
-man muss "umgekehrt" ableiten --> "aufleiten"
Aber wie genau muss ich das machen und welche Regeln gibt es (außer lineare Substitution)?
Vielen Dank schon im Vorraus!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mi 10.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo 
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> Ich habe festgestellt, dass ich eigentlich gar nicht so
> genau weiß was eine Stammfunktion ist bzw, wie man
> "aufleitet" Bzw wie die Regeln lauten...
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> Was ich glaube zu wissen ist:
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> -eine Stammfunktion bekommt man durch integrieren
Jein, streng genommen benutzt du eine Stammfunktion zum Integrieren.
> -man muss "umgekehrt" ableiten --> "aufleiten"
Richtig.
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> Aber wie genau muss ich das machen und welche Regeln gibt
> es (außer lineare Substitution)?
Du berechnest ein Integral, um eine Fläche unter einer Funktion in gewissen Grenzen zu berechnen. Der Betrag des Integrals zwischen zwei benachbarten Nullstellen einer Funktion entspricht dann dem Flächeninhalt der Fläche, die die Funktion mit der x-Achse einschließt.
Man berechnet ein Integral durch
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(b) - F(a)
wobei F die Stammfunktion von f ist.
Zur Berechnung der Stammfunktion:
Allgemein gibt es die Regel
f(x) = [mm] x^n \Rightarrow [/mm] F(x) = [mm] \bruch{1}{n+1}*x^{n+1}
[/mm]
Für andersartige Funktionen wie sin, cos, tan, ln, [mm] e^x [/mm] etc. gibt es gesonderte Regeln, ebenso für Produkte oder Quotienten von Funktionen.
Die partielle Integration ist quasi das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten, die Substitution dasjenige zur Kettenregel.
> Vielen Dank schon im Vorraus!
> Liebe Grüße
LG djmatey
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Vielen Dank schon mal! Das hat mir schon gut weiter geholfen. aber Nun hab ich noch eine Frage. Wie ist das mit den Regeln bei den Exponentialfunktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank schon mal! Das hat mir schon gut weiter
> geholfen. aber Nun hab ich noch eine Frage. Wie ist das mit
> den Regeln bei den Exponentialfunktionen?
Du solltest Dir mal klar machen, was eine Stammfunktion einer gegebenen Funktion $f$ (sofern denn überhaupt eine existiert) ist:
![[]](/images/popup.gif) Wiki: Stammfunktion.
Übrigens möchte ich noch anmerken:
(Zitat Wiki:)Das oft von Schülern gebrauchte Wort Aufleitung ist kein mathematischer Fachterminus und ist auch etymologisch in Bezug auf den Begriff Ableitung nicht zu rechtfertigen. Es ist mathematisch nicht korrekt, das Finden einer Stammfunktion als bloße Umkehrung des Ableitens zu betrachten. Der genaue Zusammenhang kann nicht kürzer als im Hauptsatz formuliert werden.
Ich selber mag die Formulierung "Aufleiten" nämlich überhaupt nicht. Zum einen ist sie i.a. nicht richtig (und kann folglich zu Verwirrungen führen), zum anderen ist sie auch nicht wirklich gängig (sie ist mir, soweit ich mich erinnere, auch noch in keinem Mathebuch begegnet; wie das in den Schulbüchern ist, weiß ich (leider) nicht, aber ich hoffe, dass man diese Formulierung dort auch nicht verwendet).
Damit kannst Du Dir nämlich selbst überlegen, wie eine Stammfunktion aussieht bzw. wie man zu einer kommt:
Euch werden meist eh nur stetige Funktionen $f$ präsentiert, für welche ihr eine Stammfunktion sucht (Stammfunktionen sind nur eindeutig bis auf eine additive Konstante (im Sinne von konstanter Funktion)!). So kannst Du Dir leicht überlegen, dass für [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] eine Stammfunktion [mm] $F(x)=-\cos(x)$ [/mm] ist; weil [mm] $\cos'(x)=-\sin(x)$ [/mm] gilt (alles jeweils auf [mm] $\IR$).
[/mm]
Auch die vorhin erwähnte "Regel" [mm] $f(x)=x^n$ $\Rightarrow$ $F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ [/mm] ($n [mm] \not= [/mm] -1$) ist dann klar, es gilt nämlich [mm] $F'(x)=\frac{1}{n+1}*(n+1)x^{n+1-1}=x^n$.
[/mm]
(Ich könnte allerdings genausogut [mm] $F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+\pi$ [/mm] als Stammfunktion zu $f$ wählen.)
Z.B. hier findest Du eine Tabelle von (gebräuchstlichen) Stammfunktionen zu gewissen Funktionen.
Gruß,
Marcel
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