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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo alle zusammen,
folgendes Problem:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}dx}
[/mm]
hier solle eine Integration durch Substitution mit x = [mm] \bruch{1}{2}(e^t-e^{-t})
[/mm]
durchgeführt werden.
Komme an der Stelle
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{4}e^{2t}+\bruch{1}{4}e^{-2t}+\bruch{1}{2}}}(\bruch{1}{2}e^t+\bruch{1}{2}e^{-t})dt}
[/mm]
nicht weiter! Ist bis jetzt alles richtig? Wenn ja, wie kommt man da weiter?
Lg
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Benutze mal [mm] $\frac [/mm] 14 [mm] e^t+\frac 12+\frac 14e^{-t}=\left(\frac 12 e^{t}+\frac 12e^{-t}\right)^2$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Docy |
Danke für deine Hilfe!
Ist das die richtige Lösung?
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{4}e^{2t}+\bruch{1}{4}e^{-2t}+\bruch{1}{2}}}(\bruch{1}{2}e^t+\bruch{1}{2}e^{-t})dt}=\integral{}^{}{1 dt}=t
[/mm]
Lg
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Hallo!
Das ist in der Tat die richtige Lösung! Jetzt musst du nur noch zurücksubstituieren...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Docy |
Ich muss doch nur t in abhängigkeit von x bestimmen?
Wie mach ich das den bei
[mm] \bruch{1}{2}(e^t-e^{-t}).
[/mm]
Ich hab leider gar keine Idee, wie man das nach t umstellen soll...
Kannst du mir nen kleinen Tip geben?
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Hallo Docy!
Deine substituierte Funktion $x \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^t-e^{-t}\right)$ [/mm] wird auch abgekürzt als sinus hyperbolicus [mm] $\sinh(t)$ [/mm] .
Damit lässt sich die Umkehrfunktion auch schnell als $arsinh(t)$ angeben und die explizite Form im Tafelwerk nachschlagen.
Rechnerisch erhältst Du hier die Lösung, indem Du umschreibst:
$x \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^t-e^{-t}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^t-\bruch{1}{e^t}\right)$
[/mm]
Wenn Du nun substituierst $z \ := \ [mm] e^t$ [/mm] , erhältst Du eine quadratsiche Gleichung, deren Lösung(en) Du mit der  p/q-Formel lösen kannst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Docy |
Hi Roadrunner,
hast du das "rechnerisch lösen" so gemeint:
[mm] \bruch{1}{2}e^t- \bruch{1}{2}e^{-t}=x
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{2t}-xe^t- \bruch{1}{2}=0
[/mm]
[mm] e^{2t}-2xe^t-1=0 [/mm] für [mm] e^t=z
[/mm]
[mm] z_{1,2}= x\pm\wurzel{x^2+1}
[/mm]
Was mach ich dann mit dem t. Für t bekomm ich doch einmal
[mm] t=ln(x+\wurzel{x^2+1}) [/mm] und
[mm] t=ln(x-\wurzel{x^2+1}) [/mm]
Ist das soweit richtig? Weiß leider nicht weiter...
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Hallo Docy!
Sehr gut gemacht ... ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") !
Eine der beiden Lösungen scheidet nun allerdings aus, wenn man den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion beachtet.
Schließlich ist der Logarithmus lediglich für positive Argumente definiert.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Docy |
Hey, stimmt! Vielen, vielen Dank für deine großartige Hilfe!
Und vielen Dank auch an banachella!
Wo bekommt man eigentlich die stylischen Smilies her?
Lg
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