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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Mi 20.02.2008 | | Autor: | TopHat |
| Aufgabe | | Wie lautet die Stammfunktion von [mm] \bruch{x^{2}}{1-x^{2}} [/mm] |
Hi erstmal:
also ich habe es ersteinmal mit Substitution [mm] z=x^{2} [/mm] versucht, aber dann muss man ja den Term
[mm] \bruch{z}{1-z} [/mm] nach dz ja noch duch 2x teilen, und das plötzlich auftauchende x gefällt mir dort gar nicht. DEnke nicht, dass ich dort die LÖsung finde.
Deshalb probiere ich das mit der partiellen Integration (Produktregel)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{1-x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{x*\bruch{x}{1-x^{2}} dx} [/mm] und hier denke ich dass ich für den 2. Faktor den ln - Spezialfall verwenden kann, also erweitere ich mit -2
[mm] \integral_{}^{}{x*\bruch{-2*x}{-2*(1-x^{2})} dx} [/mm] und ziehe die Divisor Minus 2 aus dem Integral
[mm] \bruch{1}{-2}\integral_{}^{}{x*\bruch{-2*x}{(1-x^{2})} dx}
[/mm]
und nun gehts weiter mit
[x*ln(-x²+1)] * [mm] \integral_{}^{}{ln(-x²+1)}
[/mm]
tja, und nun könnte ich ja das letztere Integral auch schreiben als
[mm] \integral_{}^{}{ln(x+1)*ln(x-1)} [/mm] , aber ob mir das was nützt bezweifle ich.
Ich bedanke mich schonmal, wenn sich überhaupt jemand die MÜhe macht meiner Ausführung zu folgen und mir weiterhelfen würde. Schönen Abend noch.
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Hi,
ich versuch's mal.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x²}{1-x²} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ x²-1 + 1 }{-x²+1} dx} [/mm] <-der Trick wird oft verwendet (+1-1)
[mm] =>\integral_{}^{}{\bruch{-1*(x²-1)}{x²-1} dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x²} dx} [/mm] <-Hier habe ich aus dem Nenner (-1) ausgeklammert und das Integral in 2 zerlegt.
[mm] \integral_{}^{}{-1 dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x²} dx}
[/mm]
F(x)= -x + artanhx +C für |x|<1
statt dem artanhx, arcoth |x|>1
Scheint sogar zu stimmen ;)
Hier der Test
F(x)= -x + artanhx +C für |x|<1
F'(x)= -1 + [mm] \bruch{1}{1-x²} [/mm] = [mm] \bruch{-1+x²+1}{1-x²}=\bruch{x²}{1-x²}
[/mm]
lieben Gruß
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