Stammfunktion bestimmen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Fr 15.02.2008 | | Autor: | horstl |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Stammfunktion zur Funktion f(x) := [mm] \bruch{4x^2}{x^2+a}, [/mm] a konstant. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Meine bisherige Idee sieht wie folgt aus:
Für a=1 ist das Ergebnis:
[mm] \integral{\bruch{4x^2}{x^2+1} dx}=4 \integral{\bruch{x^2}{x^2+1} dx}=4*(x-arctan(x))
[/mm]
Allerdings hab ich das auch nur aus einer Tabelle aus Wikipedia, wo natürlich nicht beschrieben wird, wie man darauf kommt :)
Ich hoffe, dass ich die notwendigen Schritte soweit selbst für ein beliebiges a abstrahieren kann, wenn ich vielleicht erstmal grundlegend verstanden habe, wo da plötzlich der arcustangens herkommt, hoffe von euch kann mir da jemand helfen. Würde mal auf Substitution mit sin/cos/tan (?) tippen, aber das ist gerade reine Spekulation :)
Schonmal danke im Voraus,
horstl
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Stammfunktion zur Funktion f(x) :=
> [mm]\bruch{4x^2}{x^2+a},[/mm] a konstant.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen!
>
> Meine bisherige Idee sieht wie folgt aus:
>
> Für a=1 ist das Ergebnis:
>
> [mm]\integral{\bruch{4x^2}{x^2+1} dx}=4 \integral{\bruch{x^2}{x^2+1} dx}=4*(x-arctan(x))[/mm]
>
> Allerdings hab ich das auch nur aus einer Tabelle aus
> Wikipedia, wo natürlich nicht beschrieben wird, wie man
> darauf kommt :)
> Ich hoffe, dass ich die notwendigen Schritte soweit selbst
> für ein beliebiges a abstrahieren kann, wenn ich vielleicht
> erstmal grundlegend verstanden habe, wo da plötzlich der
> arcustangens herkommt, hoffe von euch kann mir da jemand
> helfen. Würde mal auf Substitution mit sin/cos/tan (?)
> tippen, aber das ist gerade reine Spekulation :)
>
> Schonmal danke im Voraus,
> horstl
ist eigentlich nicht so schwer... wenn man den trick kennt!  du hast sowohl im zaehler als auch im nenner [mm] $x^2$-terme [/mm] stehen, dh. du kannst diese durch geschicktes addieren/subtrahieren loswerden.
heisst:
[mm] $\int\frac{4x^2}{x^2+a}\,dx=\int\frac{4x^2+4a-4a}{x^2+a}\,dx=\ldots$
[/mm]
siehst du es?
gruss
matthias
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... wobei es für die weitere Rechnung einen großen Unterschied macht, ob [mm]a<0[/mm] oder [mm]a=0[/mm] oder [mm]a>0[/mm] gilt. Oder sind in der Aufgabe Voraussetzungen an [mm]a[/mm] gestellt, die hier verschwiegen wurden? Oder heißt es gar nicht [mm]a[/mm], sondern [mm]a^2[/mm] im Nenner?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Fr 15.02.2008 | | Autor: | horstl |
> ... wobei es für die weitere Rechnung einen großen
> Unterschied macht, ob [mm]a<0[/mm] oder [mm]a=0[/mm] oder [mm]a>0[/mm] gilt. Oder sind
> in der Aufgabe Voraussetzungen an [mm]a[/mm] gestellt, die hier
> verschwiegen wurden? Oder heißt es gar nicht [mm]a[/mm], sondern [mm]a^2[/mm]
> im Nenner?
Die Aufgabe habe ich so gestellt, wie sie auf meinem Zettel steht. Da die Einschränkung von a eine Rolle spielt, wird es wohl auf eine Fallunterscheidung hinauslaufen, aus dem Kontext heraus würde ich jedenfalls [mm] a\in\IR [/mm] vermuten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Fr 15.02.2008 | | Autor: | horstl |
> ist eigentlich nicht so schwer... wenn man den trick kennt!
> du hast sowohl im zaehler als auch im nenner [mm]x^2[/mm]-terme
> stehen, dh. du kannst diese durch geschicktes
> addieren/subtrahieren loswerden.
>
> heisst:
>
> [mm]\int\frac{4x^2}{x^2+a}\,dx=\int\frac{4x^2+4a-4a}{x^2+a}\,dx=\ldots[/mm]
>
> siehst du es?
>
> gruss
> matthias
ja der trick, der trick ... ;)
also ich hab das jetzt soweit umgeformt:
[mm]\int\frac{4x^2+4a-4a}{x^2+a}\,dx=\int 4-\frac{4a}{x^2+a}\,dx=4x-4\int\frac{a}{x^2+a}\,dx[/mm]
jetzt hat ja die letzte integration irgendwas mit dem arcustangens zu tun, für a=1 wäre es auch wieder schön einfach, aber ich hab keine ahnung was ich da für ein beliebiges a machen soll...
aber schonmal danke bis zu dem punkt!
gruß
horstl
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Hallo horstl!
Wie schon angedeutet, musst Du nun eine Fallunterscheidung durchführen für $a \ < \ 0$ , $a \ = \ 0$ sowie $a \ > \ 0$ .
Der Fall $a \ = \ 0$ ist trivial. Für $a \ < \ 0$ musst Du eine  Partialbruchzerlegung durchführen.
Für $a \ > \ 0$ musst Du $a_$ ausklammern und anschließend $x \ := \ [mm] \wurzel{a}*\tan(u)$ [/mm] substituieren.
Gruß vom
Roadrunner
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