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Hallo,
die Stammfunktion F einer Funktion f ist ja nicht eindeutig. Jetzt habe ich mich gefragt, was es denn bei bestimmten Integralen für eine Auswirkung hat, wenn ich jetzt bspw für [mm] f(x)=x^2 [/mm] auf [0;3] die Stammfunktion F(x)= [mm] 1/3x^3+2 [/mm] nehme oder die Stammfunktion [mm] F(x)=1/3x^3+100. [/mm] Rein rechnerisch hebt sich das ja auf, wenn ich die Integralgrenzen einsetze, s.d. es egal ist, ob da jetzt +2 oder +100 steht.
Aber wenn ich mir das am Graphen klar machen möchte, klappt es nicht wirklich. Die Fläche bei [mm] F(x)=1/3x^3+100 [/mm] ist doch viel "höher" und somit der Flächeninhalt eigentlich größer. Wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 So 22.04.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> die Stammfunktion F einer Funktion f ist ja nicht
> eindeutig. Jetzt habe ich mich gefragt, was es denn bei
> bestimmten Integralen für eine Auswirkung hat, wenn ich
> jetzt bspw für [mm]f(x)=x^2[/mm] auf [0;3] die Stammfunktion F(x)=
> [mm]1/3x^3+2[/mm] nehme oder die Stammfunktion [mm]F(x)=1/3x^3+100.[/mm] Rein
> rechnerisch hebt sich das ja auf, wenn ich die
> Integralgrenzen einsetze, s.d. es egal ist, ob da jetzt +2
> oder +100 steht.
> Aber wenn ich mir das am Graphen klar machen möchte,
> klappt es nicht wirklich. Die Fläche bei [mm]F(x)=1/3x^3+100[/mm]
> ist doch viel "höher" und somit der Flächeninhalt
> eigentlich größer. Wo ist mein Denkfehler?
Für die Fläche musst Du doch den Graphen von f und nicht den von F betrachten.
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> die Stammfunktion F einer Funktion f ist ja nicht
> eindeutig. Jetzt habe ich mich gefragt, was es denn bei
> bestimmten Integralen für eine Auswirkung hat, wenn ich
> jetzt bspw für [mm]f(x)=x^2[/mm] auf [0;3] die Stammfunktion F(x)=
> [mm]1/3x^3+2[/mm] nehme oder die Stammfunktion [mm]F(x)=1/3x^3+100.[/mm]
Hallo Schmetterling99,
in dem Beispiel könntest du dir dies beispielsweise auf diese
Weise graphisch deutlich machen:
Du hast die "Originalfunktion" $\ f$ mit $\ f(x)\ =\ [mm] x^2$ [/mm] und dazu zwei
verschiedene Stammfunktionen [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] mit
$\ [mm] F_1(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{x^3}{3}+2$ [/mm] und $\ [mm] F_2(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{x^3}{3}+100$
[/mm]
Diese beiden Stammfunktionen kannst du dann als die folgenden
beiden bestimmten Integrale auffassen und durch Flächeninhalte
veranschaulichen:
$\ [mm] F_1(x)\ [/mm] =\ [mm] \integral_{a_1}^x x^2\, [/mm] dx$ mit $\ [mm] a_1\,=\, -\sqrt[3]{6}\ \approx\ [/mm] -1.817$
$\ [mm] F_2(x)\ [/mm] =\ [mm] \integral_{a_2}^x x^2\, [/mm] dx$ mit $\ [mm] a_2\,=\, -\sqrt[3]{300}\ \approx\ [/mm] -6.694$
Diese beiden bestimmten Integrale unterscheiden sich nur durch
die Wahl ihrer Untergrenzen, was sich dann in der gewünschten
Weise auf die Größe der Flächenstücke auswirkt, die sie reprä-
sentieren.
Ich möchte dich sehr bitten, diese beiden Zeichnungen wirklich
durchzuführen !
LG , Al-Chwarizmi
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