Stammfunktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo Zusammen,
die Stammfunktion von [mm] $\frac{3}{2}sin(2t)$ [/mm] ist [mm] -\frac{3}{4}cos(2t). [/mm] Aber warum ist sie denn negativ? Der sinus abgeleitet ist doch der cosinus?
Gruß!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Ach stimmt, ich leite doch garnicht ab...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Sa 11.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
s. letzte Antwort
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Sa 11.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo!
Du möchtest also [mm] $\frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\, [/mm] dt$ berechnen.
Substituiere dazu $u=2t$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo!
>
> Du möchtest also [mm]\frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\, dt[/mm]
> berechnen.
>
> Substituiere dazu [mm]u=2t[/mm].
u=2t
[mm] t=\frac{u}{2}
[/mm]
[mm] \frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\, [/mm] dt = [mm] \frac{3}{2}\int\limits\sin(u)\, \frac{du}{2} [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}[cos(u)\frac{1}{2}]=-\frac{3}{4}cos(2t)dt
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz, damit es nicht im Raum stehen bleibt:
> die Stammfunktion von $ [mm] \frac{3}{2}sin(2t) [/mm] $ ist $ [mm] -\frac{3}{4}cos(2t).$
[/mm]
> Aber warum ist sie denn negativ? Der sinus abgeleitet ist doch der
> cosinus?
1.) strenggenommen ist [mm] $\frac{3}{2}\sin(2t)$ [/mm] keine Funktion. Aber die Sprechweise hat sich eingebürgert, und man sollte wissen, was man damit eigentlich meint: Nämlich eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $f(t):=\frac{3}{2}\sin(2t)\,.$ [/mm] Und im obigen Zusammenhang meistens mindestens eine, wo die Aussage Sinn macht. Oben also etwa $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(t):=\frac{3}{2}\sin(2t)\,.$
[/mm]
Also das mal nur nebenbei "rein prophylaktisch" bzw. zur Erinnerung.
Und was Du festgestellt hattest, ist korrekt: [mm] $\sin\,'=\cos\,.$ [/mm] Aber, und das beantwortet nun die Frage "warum negativ?": Es gilt [mm] $\cos\,'=\textbf{\red{-}}\;\sin\,.$
[/mm]
> > Hallo!
> >
> > Du möchtest also [mm]\frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\, dt[/mm]
> > berechnen.
> >
> > Substituiere dazu [mm]u=2t[/mm].
>
> u=2t
> [mm]t=\frac{u}{2}[/mm]
>
> [mm]\frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\,[/mm] dt =
> [mm]\frac{3}{2}\int\limits\sin(u)\, \frac{du}{2}[/mm] =
> [mm]-\frac{3}{2}[cos(u)\frac{1}{2}]=-\frac{3}{4}cos(2t)dt[/mm]
2.) Korrekt - sofern Du bitte am Ende nicht [mm] $-\frac{3}{4}\cos(2t)\mathbf{\red{dt}}\,,$ [/mm] sondern 'nur' [mm] $-\frac{3}{4}\cos(2t)$ [/mm] schreibst!
Nur "rein technisch" würde man vielleicht besser den Überblick bewahren, wenn man "konstante Faktoren vor das Integral zieht". Aber das ist Geschmackssache - was ich meine, ist einfach, dass ich das so geschrieben hätte
[mm] $$\frac{3}{2}\int\sin(2t)\,dt=\frac{3}{2}\int \sin(u)\,\frac{du}{2}=\frac{3}{4}\int \sin(u)\,du=\frac{-3}{4}\cos(u)=\frac{-3}{4}\cos(2t)$$
[/mm]
Aber das ist nur ein Vorschlag, wie man manchmal ein wenig besser den Überblick behalten kann - musst Du aber nicht tun. Manchmal bringen solche einfachen Umformungen dahingehend etwas, bekanntes "schneller" zu erkennen.
P.S.
Mal spaßeshalber ein alternativer Lösungsweg:
[mm] $$\int \frac{3}{2}\sin(2t)\,dt=3\int \sin(t)\cos(t)dt=3*\left(-\cos(t)*\cos(t)-\int (-\cos(t))*\sin(t)\,dt\right)$$
[/mm]
Hieraus erkennt man insbesondere [mm] $\int \sin(t)\cos(t)\,dt=-\frac{1}{2}\cos^2(t)\,.$ [/mm] Setzt man das ein, ist man fast fertig.
Siehst Du das bzw. ist Dir klar, was ich gemacht habe?
(Hinweise: Man muss nochmal ein Additionstheorem verwenden, um zu einer Form zu gelangen, die ähnlich zu der von Dir gefundenen/angegebenen Lösung ist. Und beim Vergleich sollte man beachten, dass zwei Stammfunktionen [mm] $F_1,\,F_2$ [/mm] von einer Funktion [mm] $f\,$ [/mm] sich um eine konstante (Funktion) unterscheiden.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
