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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Stammfunktion für jede der folgenden Funktionen.
a) [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n}x^{n-1}, [/mm] |x|<le 1
b) [mm] g(x)=\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!}, x\in \IR
[/mm]
Hinweis: eine Potenzreihe ist unendlich oft differenzierbar. |
Hallo,
was eine Stammfunktion ist und wie man sie bildet ist mir natürlich bekannt, aber ich habe noch nie sowas mit einer Reihe bzw. Potenzreihe gemacht. Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wie ich da ran gehen soll. Könnt ihr mir einen Anstoß geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Laura
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Hallo Laura,
> Bestimmen Sie eine Stammfunktion für jede der folgenden
> Funktionen.
>
> a) [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n}x^{n-1},[/mm] [mm]|x|\le 1[/mm]<le 1<br="">
> b) [mm]g(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!}, x\in \IR[/mm]
>
> Hinweis: eine Potenzreihe ist unendlich oft
> differenzierbar.
innerhalb ihres Konvergenzbereiches!
> Hallo,
>
>
> was eine Stammfunktion ist und wie man sie bildet ist mir
> natürlich bekannt, aber ich habe noch nie sowas mit einer
> Reihe bzw. Potenzreihe gemacht. Ehrlich gesagt habe ich
> keine Ahnung wie ich da ran gehen soll. Könnt ihr mir
> einen Anstoß geben?
Eigentlich steht's im Hinweis schon 
Schreibe die Reihen doch mal etwas aus und integriere gliedweise:
Die erste etwa:
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}n\cdot{}x^{n-1}=-1+2x-3x^2+4x^3-5x^4+\mathcal O\left(x^5\right)[/mm]
Nun integriere mal ...
Das kannst du dann leicht wieder als Reihe schreiben.
Mache vllt. dann auch die Probe und leite dein(e) Ergebnis(reihe) wieder ab und schaue, ob auch tatsächlich die Ausgangsreihe dabei herauskommt ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
>
> Laura
LG
schachuzipus
</le>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Laura87 |
ok soweit verstanden nur noch eine kleine (peinliche) Verständnisfrage:
wie soll ich mit [mm] O(x^5) [/mm] umgehen?
Also ich vermute du meinst damit, dass die Reihe noch weitergeht, aber soll ich das einfach so wie es ist stehen lassen, beim integrieren.
peinlich peinlich 
Gruß Laura
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Hallo Laura87,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ok soweit verstanden nur noch eine kleine (peinliche)
> Verständnisfrage:
>
> wie soll ich mit [mm]O(x^5)[/mm] umgehen?
> Also ich vermute du meinst damit, dass die Reihe noch
> weitergeht, aber soll ich das einfach so wie es ist stehen
Da vermutest Du richtig.
> lassen, beim integrieren.
>
Das zu integrierende Glied kannst Du allgemein angeben.
Damit erhältst Du eine neue Potenzreihe.
>
> peinlich peinlich
>
>
>
> Gruß Laura
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Laura87 |
Hallo nochmal,
> Schreibe die Reihen doch mal etwas aus und integriere
> gliedweise:
>
> Die erste etwa:
>
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}n\cdot{}x^{n-1}=-1+2x-3x^2+4x^3-5x^4+\mathcal O\left(x^5\right)[/mm]
>
> Nun integriere mal ...
[mm] F(x)=-x+x^2-x^3+x^4+.......\pm x^n [/mm] (kann ich das zum Schluss so schreiben mit [mm] \pm x^n [/mm] oder wie soll ich das ausdrücken, damit mein Übungsleiter versteht, dass das weiter geht?
> Das kannst du dann leicht wieder als Reihe schreiben.
>
die Reihe wäre also :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} -1^n*x^n
[/mm]
d.h.
[mm] F(X)=\summe_{n=1}^{\infty} -1^n*x^n
[/mm]
Richtig?
Gruß Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Laura
> > Schreibe die Reihen doch mal etwas aus und integriere
> > gliedweise:
> >
> > Die erste etwa:
> >
> >
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}n\cdot{}x^{n-1}=-1+2x-3x^2+4x^3-5x^4+\mathcal O\left(x^5\right)[/mm]
> >
> > Nun integriere mal ...
>
> [mm]F(x)=-x+x^2-x^3+x^4+.......\pm x^n[/mm] (kann ich das zum
> Schluss so schreiben mit [mm]\pm x^n[/mm] oder wie soll ich das
> ausdrücken, damit mein Übungsleiter versteht, dass das
> weiter geht?
Du koenntest $+ [mm] (-1)^n x^n$ [/mm] schreiben, aber [mm] $\pm x^n$ [/mm] sollte auch ok sein, wenn du diese Herleitung aufschreiben willst. (Allerdings solltest du dann nach dem [mm] $x^n$ [/mm] noch wieder $+ ...$ schreiben um anzudeuten, dass die Reihe nicht bei [mm] $x^n$ [/mm] aufhoert.)
> > Das kannst du dann leicht wieder als Reihe schreiben.
> >
>
> die Reihe wäre also :
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} -1^n*x^n[/mm]
Wenn du die -1 jetzt noch in Klammern setzt, dann stimmt es. Andernfalls ist naemlich [mm] $-1^n [/mm] = [mm] -(1^n) [/mm] = -1$ fuer alle $n$.
> d.h.
>
> [mm]F(X)=\summe_{n=1}^{\infty} -1^n*x^n[/mm]
>
> Richtig?
Ja.
Als Loesung fuer diese Aufgabe kannst du auch einfach diese Reihe angeben und dann zeigen, dass $F'(x)$ gleich der urspruenglichen Reihe ist. (Ableiten tut man auch gliedweise.) Dann bist du mit der Aufgabe schon fertig.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Laura87 |
Super, vielen dank für die Hinweise!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
Hallo nochmal,
könnt ihr nochmal drüber schauen, ob die b) auch richtig ist.
Ich habe folgendes gemacht:
[mm] g(x)=\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!}=\bruch{x^0}{0!}+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+.....
[/mm]
Durch das gliedweise integrieren bekomme ich:
[mm] F(x)=x+\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{24}x^4+\bruch{1}{120}x^5+.....
[/mm]
d.h.
[mm] F(x)=\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{n-1}}{(n-1)!}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
>
> könnt ihr nochmal drüber schauen, ob die b) auch richtig
> ist.
>
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> [mm]g(x)=\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!}=\bruch{x^0}{0!}+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+.....[/mm]
>
>
> Durch das gliedweise integrieren bekomme ich:
>
> [mm]F(x)=x+\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{24}x^4+\bruch{1}{120}x^5+.....[/mm]
>
>
> d.h.
>
> [mm]F(x)=\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{n-1}}{(n-1)!}[/mm]
Ja, F ist eine Stammfunktion von g
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Fr 28.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie eine Stammfunktion für jede der folgenden
> Funktionen.
>
> a) [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n}x^{n-1},[/mm] |x|<le 1
>
> b) [mm]g(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!}, x\in \IR[/mm]
>
> Hinweis: eine Potenzreihe ist unendlich oft
> differenzierbar.
> Hallo,
>
>
> was eine Stammfunktion ist und wie man sie bildet ist mir
> natürlich bekannt, aber ich habe noch nie sowas mit einer
> Reihe bzw. Potenzreihe gemacht. Ehrlich gesagt habe ich
> keine Ahnung wie ich da ran gehen soll. Könnt ihr mir
> einen Anstoß geben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
>
> Laura
Hallo Laura,
beginnt die Summation in Aufgabe b) wirklich bei n=1?
Mit (1-2)! kann ich nicht wirklich was anfangen.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Laura87 |
sry da habe ich mich verschrieben. Sie beginnt bei n=2. Danke für den Hinweis
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