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Stammfunktion: Partialbruchzerlegung

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:33 Fr 10.06.2005
Autor:	pisty

Hallo,

gesucht ist die Stammfunktion folgender Funktion:

[mm] \bruch{2x^2-5x+1}{x^3-2x^2+x} [/mm]

da Nenner Größer wie Zähler, findet Partialbruchzerlegung Anwendung
vorerst Nenner Faktorisieren

= [mm] \bruch{2x^2-5x+1}{x(x-1)^2} [/mm]

= [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1^2)} [/mm]
= [mm] A(x^2-2x+1) [/mm] + [mm] B(x^2-x+0) [/mm] + [mm] C(0x^2+x+0) [/mm] = [mm] 2x^2-5x+1 [/mm]

Eingabe in die Koeffizentenmatrix ergibt eine eindeutige Lösung

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0} \pmat{ 2 \\ -5 \\ 1} [/mm]

-> genau eine Lösung

[mm] x_{1}=1 [/mm]
[mm] x_{2}=1 [/mm]
[mm] x_{3}=-2 [/mm]

-> [mm] \integral \bruch{1}{x}+ \bruch{1}{(x-1)}- \bruch{2}{(x-1)^2}{dx} [/mm]

= [mm] \ln|x|+\ln(|x-1|)-\bruch{2}{(x-1)} [/mm]

ich würde mich freuen wenn meine Ergebnisse stimmen, und bitte wenn dies nicht der Fall sein sollte, mir etwas Hilfe zu leisten.

MfG bUj

Bezug

Stammfunktion: Fast richtig: Vorzeichenfehler

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:48 Fr 10.06.2005
Autor:	Loddar

Hallo pisty!

> = [mm]\bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(x-1)}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(x-1^2)}[/mm]

Tippfehler! Der letzte Bruch muß natürlich lauten: [mm]\bruch{C}{(x-1\red{)}^2}[/mm]

> -> [mm]\integral \bruch{1}{x}+ \bruch{1}{(x-1)}- \bruch{2}{(x-1)^2}{dx}[/mm]

> = [mm]\ln|x|+\ln(|x-1|)-\bruch{2}{(x-1)}[/mm]

Vor dem letzten Bruch muß ein "+" stehen, da

[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{1}{(x-1)^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {(x-1)^{-2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} (x-1)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} \bruch{1}{x-1}$ [/mm]

Und ...

Bei unbestimmten Integralen die Integrationskonstante [mm] "$\red{+ \ C}$" [/mm] am Ende nicht vergessen!

Edit: Und für eine Stammfunktion [mm] $\blue{F(x)}$ [/mm] gibt es ja auch eine relativ einfache Probe.
Wenn Du diese nämlich wieder ableitest, sollte ja am Ende auch Deine ursprüngliche Funktion herauskommen: [mm] $\blue{F'(x) \ = \ f(x)}$ [/mm]

Gruß
Loddar