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| Aufgabe | [mm] \integral{\bruch{x^2}{(5-4x^2)^3}dx}
[/mm]
Stammfunktion = [mm] \bruch{1}{(5-4x^2)^2*24}+C [/mm] |
Hallo!
Ich probiere schon eine Weile mit allen möglichen Mitteln auf die obige(im Buch angegebene) Stammfunktion zu kommen, finde aber meine Fehler nicht. Könnte bitte jemand meine Ansätze verbessern oder einen Tipp geben? Würde mich sehr freuen!! 
Meine Überlegungen:
Subst. [mm] (5-4x^2)=z [/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] -\bruch{z-5}{4}
[/mm]
z' = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = -8x
Wenn ich das jetzt in das Integral einsetze erhalte ich doch:
[mm] \integral{\bruch{-\bruch{z-5}{4}}{z^3}}dz [/mm]
Stimmt das?
Weiter habe ich so umgeformt und aufgespalten:
[mm] \integral{\bruch{-\bruch{z-5}{4}}{z^3}}dz =\integral{-\bruch{z-5}{4z^3}}dz [/mm] = [mm] \integral{\bruch{-1}{4z^2}dz}+\integral{\bruch{5}{4z^3}dz}
[/mm]
Dann habe ich die Stammfunktionen berechnet:
[mm] +\bruch{1}{4z}-\bruch{2,5}{4z^2}+c
[/mm]
Resubst.
[mm] \bruch{1}{4*(5-4x^2)}-\bruch{2,5}{4*(5-4x^2)^2}
[/mm]
Gemeinsamer Nenner:
[mm] \bruch{2,5-4x^2}{4*(5-4x^2)^2*(-8x)}
[/mm]
(Da ich hier scheinbar gar nicht durchblicke wäre es vielleicht sinnvoll wenn mir diese Rechnung jemand schrittweise vorrechnen könnte)
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mo 16.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Das
$ [mm] \integral{\bruch{-\bruch{z-5}{4}}{z^3}}dz [/mm] $
stimmt nicht. Es ist
dz = -8xdx !!
Tipp: Partialbruchzerlegung.
Übrigends: die von Dir in der Aufgabenstellung genannte Stammfunktion ist keine solche. Differenziere mal.
FRED
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Hallo Fred!
Danke für deinen Tipp!
Stimmt die Funktion ist keine Stammfunktion. Scheinbar ist das ein Druckfehler im Buch. Ich habe keine Ahnung von der Partialbruchzerlegung.
Diese Übungen sind im Buch zu Thema "Bestimmung der Stammfunktion durch Substitution" angegeben. Die Partialbruchzerlegung sollte keine Voraussetzung zur Lösung sein. Gibt es wirklich keine andere Möglichkeit?
Gruß
Angelika
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Hi,
Bei der Aufgabe braucht man keine Partialbruchzerlegung. Es geht wie du schon sagtest mit Substitution.
Dazu substituieren wir [mm] \\z=5-4x^{3}.
[/mm]
Dann haben wir [mm] \bruch{dz}{dx}=-12x^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \\dx=-\bruch{dz}{12x^{2}}
[/mm]
Dann haben wir [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{(z)^{3}} \bruch{dx}{-12x^{2}}}=-\bruch{1}{12}\cdot\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^{3}} dz}=.... [/mm] den Rest schaffst du sicher alleine
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi, Tys!
In der Klammer im Nenner steht ja 5-4x²! Nix mit ³ da :) Die Stammfunktion wird sehr unschön, ich denke nicht, dass man da ohne Partialbruchzerlegung dran kommt. Eventuell, wenn man mit etwas ersetzt, wo kein normaler Mensch drauf kommt, aber das ist eine andere Geschichte ;)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi Teufel,
danke für das aufmerksame lesen. Es wäre auch zu schön um wahr zu sein.
@AbraxasRishi Es geht wirklich nur mit Partialbruchzerlegung.
Allerdings glaube ich dass AbraxasRishi das Integral falsch aufgeschrieben hat. So wie ich gerechnet habe nämlich das mit ^{3} würde ich als Stammfunktion [mm] \bruch{1}{24(4x^{3}-5)²} [/mm] herausbekommen also fast so wie im Lösungsbuch.
Nun müssten wir nochmal nachfragen! Wie lautet die Funktion die integriert werden muss.
Gruß
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Hallo Teufel!
Ich weiß nicht wie, aber Tyskie hat intuitiv oder bewusst den Druckfehler in meinem Buch verbessert, sodass ich auf das Ergebniss [mm] \bruch{1}{24*(4x^3-5)^2} [/mm] erhalte.
Viel dank nochmal Tyskie!!
Gruß
Angelika
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