Stärkste Änderung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Fr 02.01.2015 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe eine Funktion f(x) = [mm] 0,5*(x-3)^2-3,5 [/mm] mit 0 <= x <= 6
x sei die Zeit in Tagen, f(x) sei eine Zuflussrate in einen Behälter in m³/Tag.
Nun soll man den Zeitpunkt bestimmen, an dem sich der Wassermenge am stärksten ändert.
Da f(x) bereits die Geschwindigkeit darstellt, muss ich f(x) auf Minima bzw. Maxima untersuchen.
Ist es richtig, dass die stärkste Änderung bei x = 3 vorliegt, da sich dort die Wassermenge um -3,5 m³/Tag am stärksten ändert ?
Wenn f(x) definiert wäre von 0 bis 7, wäre dann als Antwort x = 7 korrekt, da dann f(x) den Wert +4,5 m³/Tag annimmt ?
Kann ich ganz allgemein solch eine Aufgabe dadurch lösen, indem ich den Betrag der Änderungsratenfunktion betrachte und deren höchster Punkt mir die Stelle angibt, an der die Wassermenge sich am stärksten ändert ?
Wenn gefragt wäre, zu welchem Zeitpunkt sich die Wassermenge am geringsten ändert, wären dies dann die Nullstellen von f(x) ?
Vielen Dank für eure Antworten.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Hing |
hi, du möchtest also wissen, an welchen tagen die grösste zufluss-änderung(!) vorhanden ist, du willst also nicht wissen wann der höchste zufluss IST. dazu muss man f(x) ableiten (f'(x)) und die nullstellen finden. die ableitung wird nochmals abgeleitet (f''(x)) um sich zu vergewissern von welcher art das extremum ist.
[mm] f(x)=0,5(x-3)^2-3,5
[/mm]
[mm] f(x)=0,5(x^2-6x+9)-3,5
[/mm]
[mm] f(x)=(0,5x^2-3x+4,5)-3,5
[/mm]
[mm] f(x)=0,5x^2-3x+1,5
[/mm]
f'(x)=x-3 -> 0=x-3 -> x=3 (extremum)
f''(x)=1 -> ist >0, also minimum
tatsächlich hast du an x=3 ein minimum.
eingesetzt:
[mm] f(3)=0,5(3)^2-3(3)+1,5=4,5-9+1,5=-3
[/mm]
das bedeutet, das der zufluss am dritten tag -3 qm/tag beträgt. dessen ÄNDERUNG beträgt 0 [mm] qm/tag^2.
[/mm]
das ist aber nur ein lokales minimum. ein lokales maximum scheint nicht vorhanden. es kann aber sein, das an den rändern ein globales extremum vorhanden ist. in deinem fall f'(0) und f'(6).
f'(0)=-3
f'(6)=3
tatsächlich sind die ÄNDERUNGEN an den rändern kleiner/grösser als bei x=3. das heisst, das an tag 0 der zufluss sich mit -3 [mm] qm/tag^2 [/mm] ändert und an tag 6 der zufluss mit 3 [mm] qm/tag^2 [/mm] ändert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Sa 03.01.2015 | | Autor: | rubi |
Hallo Hing,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich glaube jedoch nicht, dass ich mit f'(x) arbeiten muss.
f(x) gibt doch schon die Zuflussrate an und stellt die momentane Änderungsrate der Wassermenge dar.
Die Funktion, die die Wassermenge beschreibt, wäre die Stammfunktion F(x).
Wenn nun gefragt ist, wann sich die Wassermenge am stärksten ändert, muss ich prüfen, wann F'(x) = f(x) maximal bzw. minimal wird, also muss ich die gegebene Funktion f(x) auf Maxima/Minima untersuchen, wie ich es in meiner Frage beschrieben habe.
Bitte daher nochmals um Bescheid, ob ich mit meinen Antwortvorschlägen in meiner Ausgangsfrage wirklich falsch liege.
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo rubi,
hier muss man wirklich sehr genau darauf achten, wie die Funktion f(x) definiert ist. Nach Deiner Beschreibung würde ich Dir recht geben, denn die Wassermenge im Behälter wird sich dann am stärksten ändern, wenn die Zuflussrate am höchsten ist.
Viele Grüße,
Infinit
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