Stabilisatoren quadratischer F < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
es bezeichne
- G die Gruppe der unimodularen ganzzahligen [mm] 2 \times 2[/mm]-Matrizen;
- M die Menge der ganzz. binären quadratischen Formen. Weiter sei [mm]*: M \times G \to M[/mm] definiert durch
mm](a,b,c) * A [mm] =(aa_{11}^2 +ba_{11}a_{21} +ca_{21}^2, 2aa_{11}a_{12} +2ca_{21}a_{22} +b(a_{11}a_{22} +a_{12}a_{21}), aa_{12}^2 +ba_{12}a_{22} +ca_{22}^2)[/mm].
[/mm]
Nun möchte ich beweisen, dass die von den Matrizen 03[mm]\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}, \quad \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}[/mm] erzeugte Gruppe die quadratische Form [mm](a,b,a) [/mm] stabilisiert (wobei a,b beide von 0 verschieden sind).
Idee: Ich zeige, dass im Stabilisator von [mm] (a,b,a) [/mm] keine echte obere / untere Dreiecksmatrix enthalten sein kann; und dass die Matrix [mm] -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} [/mm] ebenfalls nicht drin liegt. Damit scheiden dann 3 der erzeugenden von G als erzeugende des Stabilisators aus.
Aber so recht wohl ist mir dabei nicht: Es könnte ja sein, dass eines der erzeugenden Elemente des Stabilisators aus mehreren der 'Erzeugermatrizen' von G 'zusammengesetzt' ist.
In zwei anderen einfacheren Fällen (b=0 und ausgeartete quadratische Formen) konnte ich deren Stabilisatoren direkt bestimmen; nur hier hab ich keine Idee für einen direkten Beweis.
Vielen Dank und frohe Ostern
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:27 Mi 29.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Thomas,
bevor diese Frage ganz in den Untiefen des Forums verloren geht moechte ich noch etwas dazu schreiben. Auch wenn ich dir nicht wirklich weiterhelfen kann.
> es bezeichne
> - G die Gruppe der unimodularen ganzzahligen [mm]2 \times 2[/mm]-Matrizen;
>
> - M die Menge der ganzz. binären quadratischen Formen.
> Weiter sei [mm]*: M \times G \to M[/mm] definiert durch
> mm](a,b,c) * A [mm]=(aa_{11}^2 +ba_{11}a_{21} +ca_{21}^2, 2aa_{11}a_{12} +2ca_{21}a_{22} +b(a_{11}a_{22} +a_{12}a_{21}), aa_{12}^2 +ba_{12}a_{22} +ca_{22}^2)[/mm].[/mm]
>
> Nun möchte ich beweisen, dass die von den Matrizen
> 03[mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
> erzeugte Gruppe die quadratische Form [mm](a,b,a)[/mm] stabilisiert
> (wobei a,b beide von 0 verschieden sind).
Erstmal reicht es ja aus, die Form $(1, b/a, 1)$ zu betrachten mit $b/a [mm] \in \IQ^\ast$.
[/mm]
> Idee: Ich zeige, dass im Stabilisator von [mm](a,b,a)[/mm] keine
> echte obere / untere Dreiecksmatrix enthalten sein kann;
Hast du das schon gezeigt? Sieht alles nach ekeligen Rechnungen aus.
> und dass die Matrix [mm]-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}[/mm] ebenfalls
> nicht drin liegt. Damit scheiden dann 3 der erzeugenden von
> G als erzeugende des Stabilisators aus.
Ok.
> Aber so recht wohl ist mir dabei nicht: Es könnte ja sein,
> dass eines der erzeugenden Elemente des Stabilisators aus
> mehreren der 'Erzeugermatrizen' von G 'zusammengesetzt'
> ist.
Genau, das koennte sein.
> In zwei anderen einfacheren Fällen (b=0 und ausgeartete
> quadratische Formen) konnte ich deren Stabilisatoren direkt
> bestimmen; nur hier hab ich keine Idee für einen direkten
> Beweis.
Weisst du denn, dass es so sein muss? Oder vermutest du das?
Allgemein ist das Bestimmen von Stabilisatoren alles andere als einfach. Ob man das hier irgendwie zufriedenstellend loesen kann weiss ich nicht...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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