Stabilisator Permutationsgr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:00 Do 17.03.2011 | | Autor: | steppenhahn |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $(\Omega, [/mm] G)$ eine Permutationsgruppe und außerdem sei G kommutativ. Zeigen Sie: Der Stabilisator [mm] $G_x$ [/mm] eine Punktes [mm] $x\in \Omega$ [/mm] besteht nur aus der 1. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe habe ich schon Begriffsschwierigkeiten. Ich nehme mal an, dass [mm] $\Omega$ [/mm] irgendeine [mm] $S_n$ [/mm] ist und $G [mm] \subset S_n$ [/mm] eine kommutative Untergruppe?
Der Stabilisator von [mm] $x\in S_n$ [/mm] ist ja definiert als
[mm] $G_x [/mm] := [mm] \{\sigma \in G: \sigma x = x\}$.
[/mm]
Wenn der Stabilisator nicht nur aus der 1 bestände, gäbe es ein Element [mm] $\sigma \in [/mm] G$ mit [mm] $\sigma [/mm] x = x$. Ich weiß aber nicht, wie ich weitermachen könnte und bräuchte einen Ansatz 
Viele Grüße,
Stefan
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Hi,
> Es sei [mm](\Omega, G)[/mm] eine Permutationsgruppe und außerdem
> sei G kommutativ. Zeigen Sie: Der Stabilisator [mm]G_x[/mm] eine
> Punktes [mm]x\in \Omega[/mm] besteht nur aus der 1.
>
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe habe ich schon Begriffsschwierigkeiten.
> Ich nehme mal an, dass [mm]\Omega[/mm] irgendeine [mm]S_n[/mm] ist und [mm]G \subset S_n[/mm]
> eine kommutative Untergruppe?
Nein. G ist [mm]S_n[/mm] und [mm]\Omega[/mm] ist eine Menge. Hierbei handelt es sich um Gruppenoperationen. Die Gruppe [mm]G=S_n[/mm] operiert auf der Menge [mm]\Omega[/mm]
>
> Der Stabilisator von [mm]x\in S_n[/mm] ist ja definiert als
[mm]x\in \Omega[/mm]!!!
> [mm]G_x := \{\sigma \in G: \sigma x = x\}[/mm].
Anders gesagt sind das alle Permutationen, die du über ein Element jagen darfst, ohne das am Ende ein anderes Element herauskommt. Das heißt diese Permutationen dürfen dem Element nichts anhaben.
>
> Wenn der Stabilisator nicht nur aus der 1 bestände, gäbe
> es ein weiteres Element [mm]\green{id= 1\neq }\; \sigma \in G[/mm] mit [mm]\sigma \green{\circ} x=\green{\sigma(x)} = x[/mm]. Ich weiß
> aber nicht, wie ich weitermachen könnte und bräuchte
> einen Ansatz
Vielleicht hast du jetzt einen besseren Überblick.
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Hallo!
Danke für deine Antwort, wieschoo!
> > Es sei [mm](\Omega, G)[/mm] eine Permutationsgruppe und außerdem
> > sei G kommutativ. Zeigen Sie: Der Stabilisator [mm]G_x[/mm] eine
> > Punktes [mm]x\in \Omega[/mm] besteht nur aus der 1.
> >
> > Hallo!
> >
> > Bei obiger Aufgabe habe ich schon Begriffsschwierigkeiten.
> > Ich nehme mal an, dass [mm]\Omega[/mm] irgendeine [mm]S_n[/mm] ist und [mm]G \subset S_n[/mm]
> > eine kommutative Untergruppe?
> Nein. G ist [mm]S_n[/mm] und [mm]\Omega[/mm] ist eine Menge. Hierbei handelt
> es sich um Gruppenoperationen. Die Gruppe [mm]G=S_n[/mm] operiert
> auf der Menge [mm]\Omega[/mm]
> [mm]x\in \Omega[/mm]
> > [mm]G_x := \{\sigma \in G: \sigma x = x\}[/mm].
> Anders gesagt sind das alle Permutationen, die du über ein
> Element jagen darfst, ohne das am Ende ein anderes Element
> herauskommt. Das heißt diese Permutationen dürfen dem
> Element nichts anhaben.
> >
> > Wenn der Stabilisator nicht nur aus der 1 bestände, gäbe
> > es ein weiteres Element [mm]\green{id= 1\neq }\; \sigma \in G[/mm]
> mit [mm]\sigma \green{\circ} x=\green{\sigma(x)} = x[/mm].
Das verwirrt mich jetzt etwas, denn zu beliebigem x dürfte ich sowas im Fall n [mm] \ge [/mm] 3 doch eigentlich immer finden. Aber die [mm] S_n [/mm] ist eben ab n = 3 nicht mehr kommutativ.
Anscheinend darf ich das mit der Kommutativität nicht benutzen. Aber was kann ich denn mit der Kommutativität der Gruppe G anfangen?
Ich brauche nochmal Hilfe...
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Sa 19.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Sa 19.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> > Bei obiger Aufgabe habe ich schon Begriffsschwierigkeiten.
> > Ich nehme mal an, dass [mm]\Omega[/mm] irgendeine [mm]S_n[/mm] ist und [mm]G \subset S_n[/mm]
> > eine kommutative Untergruppe?
>
> Nein. G ist [mm]S_n[/mm] und [mm]\Omega[/mm] ist eine Menge. Hierbei handelt
> es sich um Gruppenoperationen. Die Gruppe [mm]G=S_n[/mm] operiert
> auf der Menge [mm]\Omega[/mm]
$G$ kann auch eine Untergruppe von [mm] $S_n$ [/mm] sein. $G$ ist einfach eine Untergruppe der Bijektionen [mm] $\Omega \to \Omega$; [/mm] ist also $n = [mm] |\Omega|$, [/mm] so ist $G$ (isomorph zu) eine Untergruppe von [mm] $S_n$.
[/mm]
Ansonsten wuerde aus $G$ kommutativ ja $G [mm] \in \{ S_1, S_2 \}$ [/mm] folgen, und das sind zwei ziemlich einfache (und langweilige) Gruppen :)
LG Felix
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