Staatsverschuldung Syraland < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 03.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Staatsverschuldung von Syraland hatte folgende Entwicklung:
Jahr Staatsverschuldung (Millionen Syra)
1970 20,6
1975 36,5
1980 57,2
1985 99,8
1990 163,5
1995 282,0
2000 461,2
2005 785,4
1.1. Bestimmen Sie aus den Daten eine Exponentialfunktion (zur Basis e), die näherungsweise die Entwicklung der Staatsverschuldung beschreibt (Zeitschritt: 1 Jahr).
1.2. Berechnen Sie die voraussichtliche Verschuldung für die Jahre 2006 und 2007.
1.3. Um wie viel Prozent nimmt die Staatsverschuldung von 2006 nach 2007 nach Ihren Berechnungen zu? |
Moin!
Hier scheitere ich schon an der 1. Teilaufgabe.
Meine Idee(n):
Ich würde dafür die Formel benutzen: N(t) = [mm] N_0 [/mm] * [mm] e^{k*t}
[/mm]
Da ich einen Zeitraum von 5 Jahren betrachte, würde ich t=5 setzen (bzw. 5*t^*)
Dann einsetzen N(5)=36,5
36,5 = 20,6 * [mm] e^{5k} [/mm]
1,7718 = [mm] e^{5k} [/mm] | ln
ln 1,7718 = 5*k
k = 0,1144
Wenn ich z.B. bilde nach 20 Jahren... N(20)=163,5
163,5 = [mm] 20,6*e^{20k}
[/mm]
7,9369 = [mm] e^{kt} [/mm] | ln
2,0715 = 20 k
k = 0,1036
Leider ist das Ergebnis nicht korrekt, nach Lehreraussage. Warum? Was mache ich falsch?
Oder muss ich alle k-Werte bilden und dann das arithmetische Mittel bilden??? [Dann erhielte ich k=0,10537 ]
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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Moin hase-hh,
hat denn dein Lehrer dir die Werte gegeben, die er als richtig erachtet?
Ich würde auch die Funktion
[mm] $N(t)=N_0*e^{k*t}$
[/mm]
logarithmieren:
[mm] $lnN(t)=k*t+lnN_0$
[/mm]
und dann eine Regression durchführen nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate: also eine Ausgleichsgerade durch die Auftragung der logarithmierten Geldbeträge gegen die Zeit (Jahre). Das ist heutzutage bestimmt in jedem Schultaschenrechner drin.
Dann hat man die Steigung der Geraden (k) und den Achsenabschnitt [mm] (lnN_0), [/mm] den man noch zum Exponenten von e erheben muss.
Damit komme ich auf:
k = 0,103449 1/a und [mm] N_0 [/mm] = 20,926678 Mio
[mm] $N(t)=20,926678*e^{0,103449*t}$
[/mm]
Ich kann mich aber erinnern im Lehrbuch meiner Nachhilfeschülerin schon einfachere Methoden der Gewinnung einer Näherungsfunktion gesehen zu haben (ohne Kurvenregression).
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 03.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin Martin,
danke für deine Antwort.
Ich habe nochmal ein bisschen hin- und hergerechnet... Komme jetzt zwar nicht ganz auf deine Lösung (vermutlich genauer als "unsere"), aber immerhinque!
1. Ich teile immer den Wert der aktuellen Periode durch den Wert der Vorperiode... dann erhalte ich
036,5 1,771844660
057,2 1,567123288
099,8 1,744755245
163,5 1,638276553
282.0 1,724770642
461,2 1,635460993
785,4 1,702948829
Diese Werte werden addiert...
= 11,78518021
und davon der Mittelwert gebildet ( d.h. geteilt durch 7)
= 1,683597173
davon wird dann der ln gebildet und durch 5 geteilt:
ln(1,68359173) / 5 = 0,10418654
=> N(t) = [mm] 20,6^*e^{0,10418654*t}
[/mm]
Probe
N(5) = 34,68
N(20) = 165,5
N(35) = 789,83
Die Abweichungen sind wohl normal, da es sich um eine Näherungsfunktion handelt.
1.2.
2006 N(36)= 919,11
2007 N(37) = 1067,26
1.3. Prozentuale Zunahme von 2006 nach 2007
[mm] \bruch{1067,26}{919,11} [/mm] = 1,16
=> 16%ige Zunahme.
Gruß
Wolfgang
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Moin Wolfgang,
> Moin Martin,
>
> danke für deine Antwort.
>
> Ich habe nochmal ein bisschen hin- und hergerechnet...
> Komme jetzt zwar nicht ganz auf deine Lösung (vermutlich
> genauer als "unsere"), aber immerhinque!
>
> 1. Ich teile immer den Wert der aktuellen Periode durch den
> Wert der Vorperiode... dann erhalte ich
>
> 036,5 1,771844660
> 057,2 1,567123288
> 099,8 1,744755245
> 163,5 1,638276553
> 282.0 1,724770642
> 461,2 1,635460993
> 785,4 1,702948829
>
> Diese Werte werden addiert...
>
> = 11,78518021
>
> und davon der Mittelwert gebildet ( d.h. geteilt durch 7)
>
> = 1,683597173
>
> davon wird dann der ln gebildet und durch 5 geteilt:
>
> ln(1,68359173) / 5 = 0,10418654
>
> => N(t) = [mm]20,6^*e^{0,10418654*t}[/mm]
>
>
> Probe
>
> N(5) = 34,68
> N(20) = 165,5
> N(35) = 789,83
Diese Werte kommen mit deiner Funktion tatsächlich heraus.
> Die Abweichungen sind wohl normal, da es sich um eine
> Näherungsfunktion handelt.
>
> 1.2.
>
> 2006 N(36)= 919,11
>
> 2007 N(37) = 1067,26
Mit deiner Funktion bekomme ich da andere Werte heraus:
2006 N(36) = 876,56
2007 N(37) = 972,81
> 1.3. Prozentuale Zunahme von 2006 nach 2007
>
>
> [mm]\bruch{1067,26}{919,11}[/mm] = 1,16
>
> => 16%ige Zunahme.
Dementsprechend stimmt auch der Prozentsatz nicht.
>
> Gruß
> Wolfgang
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Di 03.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
oh, da hat EXCEL wieder mal beim Kopieren was dazugezählt. :-(
> > 1.2.
> >
> > 2006 N(36)= 919,11
> >
> > 2007 N(37) = 1067,26
>
>
> Mit deiner Funktion bekomme ich da andere Werte heraus:
>
> 2006 N(36) = 876,56
>
> 2007 N(37) = 972,81
habe ich jetzt auch raus!
1.3. Prozentuale Zunahme von 2006 nach 2007
[mm] \bruch{972,81}{876,56} [/mm] =1,1098
=> Zunahme um 10,98%
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Di 03.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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