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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Spule DGL 1. Ordnung

Spule DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Spule DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:03 Do 28.02.2019
Autor:	hase-hh

Aufgabe

 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL für die Stromstärke in einer Spule, für den Anfangswert I(0) = 0.

Es gilt: 

[mm] U_{ind} [/mm] = -L * [mm] \bruch{d I(t)}{dt}
 [/mm]

I(t) = [mm] \bruch{U + U_{ind}}{R} [/mm]

Moin Moin,

meine Frage ist, wie ich hier am einfachsten die Lösung der DGL finden kann.

I(t) = [mm] \bruch{U + U_{ind}}{R} [/mm]

I(t) = [mm] \bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}* \bruch{d I(t)}{dt} [/mm]

I(t) = [mm] \bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}* [/mm]  I ' (t)

Richtig?

1. Idee

Wenn I(0) = 0  der Anfangswert ist, dann folgt daraus

0 = [mm] \bruch{U}{R} -\bruch{L*}{R}* [/mm] I ' (0)

I ' (0) =  [mm] \bruch{U}{L} [/mm]

Richtig?

2.  Idee   zur Lösung der DGL

I(t) = [mm] \bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}* [/mm]  I ' (t)

I(t)  + [mm] \bruch{L}{R}* [/mm]  I ' (t) = [mm] \bruch{U}{R} [/mm]

2.1.  Lösen der homogenen DGL

I(t)  + [mm] \bruch{L}{R}* [/mm]  I ' (t) = 0

I(t) = [mm] c*e^{at} [/mm]    =>  I ' (t) = [mm] a*c*e^{at} [/mm]

c = [mm] \bruch{U}{L} [/mm]   s.o.

c*e{at} = [mm] -\bruch{L}{R}*a*c*e^{at} [/mm]

1 = [mm] -\bruch{L}{R}*a [/mm]

a = - [mm] \bruch{R}{L} [/mm]

=  >  I(t) = [mm] \bruch{U}{R} [/mm] - [mm] \bruch{U}{L}*\bruch{-R}{L}*e^{-\bruch{R}{L}*t} [/mm]

Ist das soweit richtig? Oder muss ich da anders vorgehen?

... und wie komme ich dann zur speziellen Lösung?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Bezug

Spule DGL 1. Ordnung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:09 Do 28.02.2019
Autor:	HJKweseleit

> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL für die
> Stromstärke in einer Spule, für den Anfangswert I(0) =
> 0.
>
> Es gilt:
>
> [mm]U_{ind}[/mm] = -L * [mm]\bruch{d I(t)}{dt}[/mm]
>
>
> I(t) = [mm]\bruch{U + U_{ind}}{R}[/mm]
>  Moin Moin,
>
> meine Frage ist, wie ich hier am einfachsten die Lösung
> der DGL finden kann.
>
>
> I(t) = [mm]\bruch{U + U_{ind}}{R}[/mm]
>
> I(t) = [mm]\bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}* \bruch{d I(t)}{dt}[/mm]
>
>
> I(t) = [mm]\bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t)
>
>
> Richtig?

>
>
> 1. Idee
>
> Wenn I(0) = 0  der Anfangswert ist, dann folgt daraus
>
>
> 0 = [mm]\bruch{U}{R} -\bruch{L*}{R}*[/mm] I ' (0)
>
>
> I ' (0) =  [mm]\bruch{U}{L}[/mm]
>
>
> Richtig?

- Du solltest aber besser die Randbedingung zuletzt einsetzen, nachdem du die Diffgl. gelöst hast.
>
>
> 2.  Idee   zur Lösung der DGL
>
> I(t) = [mm]\bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t)
>
> I(t)  + [mm]\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t) = [mm]\bruch{U}{R}[/mm]
>
> 2.1.  Lösen der homogenen DGL
>
> I(t)  + [mm]\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t) = 0
>
> I(t) = [mm]c*e^{at}[/mm]    =>  I ' (t) = [mm]a*c*e^{at}[/mm]

>
>
> c = [mm]\bruch{U}{L}[/mm]   s.o.

[mm] \red{a}*c [/mm] = [mm] \bruch{U}{L} [/mm]
>
>
> c*e{at} = [mm]-\bruch{L}{R}*a*c*e^{at}[/mm]

>
>
> 1 = [mm]-\bruch{L}{R}*a[/mm]
>
> a = - [mm]\bruch{R}{L}[/mm]

>
>

----------------- ab hier schlägt der Fehler durch --------

> =  >  I(t) = [mm]\bruch{U}{R}[/mm] -

> [mm]\bruch{U}{L}*\bruch{-R}{L}*e^{-\bruch{R}{L}*t}[/mm]
>
>

----------------------------------------------------------
> Ist das soweit richtig? Oder muss ich da anders vorgehen?
>
> ... und wie komme ich dann zur speziellen Lösung?
>
>

Bis auf den Fehler ist es bis zu "ab hier schlägt der Fehler durch" richtig. Ich zeige dir mal den eleganteren Weg:

Den 1. Weg lasse ich zunächst weg.

Du hattest beim 2. Weg

I(t)  + [mm]\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t) = [mm]\bruch{U}{R}[/mm]

Homogene Gleichung: I(t)  + [mm]\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t) = 0

Ansatz: [mm] I(t)=c*e^{at} [/mm]

Einsetzen in die  homogene Gleichung: [mm] c*e^{at}+\bruch{L}{R}*a*c*e^{at}=0 [/mm]
Daraus folgt  [mm] a=-\bruch{R}{L} [/mm] wie bei dir oben.

Für die inhomogene Gleichung findest du sofort eine spezielle Lösung: Da die rechte Seite eine Konstante ist, kannst du einfach mal ausprobieren, ob I(t) nicht auch konstant sein könnte. Dann wäre I'(t)=0 und [mm] I(t)=\bruch{U}{R}. [/mm] Also ist das eine spezielle Lösung. Diese hinzuaddiert gibt nun

[mm] I(t)=c*e^{-\bruch{R}{L}t}+\bruch{U}{R} [/mm]

Jetzt erst setzt du die Randbedingung I(0)=0 ein:

[mm] I(0)=c+\bruch{U}{R}=0 \Rightarrow c=-\bruch{U}{R} [/mm] und damit

[mm] I(t)=\bruch{U}{R}*(1-e^{-\bruch{R}{L}t}) [/mm]