Spline mit spez. Randbedingung < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Prom08 |
Hallo Zusammen :)
Ich habe folgendes Frage.
Ist es möglich ein Spline zu generieren, welches folgender Randbedingung folgt?
x1 <= x2; y1 <= y2
Sprich, vom kleinsten x aus gesehen, muss das zugeordnete y des nächstgrößeren y-Wertes größer sein, als das Ausgangs-y
Die Daten haben in der Regel solche oder ähnliche Struktur.
x y
0,1 0
0,5 0
2 200
5 900
200 1000
50 1000
200 1000
Ihr ahnt wahrscheinlich, ich möchte das Auslenken an den Enden verhindern.
Beste Grüße
Prom08,
der gespannt auf eine Antwort wartet.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo Prom08,
wenn ich richtig verstanden habe, möchtest
du eine Spline-Funktion bekommen, die
garantiert auch monoton ist, falls die Stütz-
punkte monoton geordnet sind ...
Habe ich das richtig interpretiert ?
Es wäre wohl gut, wenn du ein ganz konkretes
(nicht zu kompliziertes) Beispiel mit allen
nötigen Daten angeben könntest, bei dem
diese Frage aufgetreten ist.
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Prom08 |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für die rasche Antwort.
Ich meine du hast Recht. Ich habe im Anhang mal eine kurze Beispieldatei (xls) mit einer typischen Werteverteilung angehangen.
Die Probleme bei allen Splines, welche ich ausprobiert habe sind in diesem Beispiel in den x-Intervallen 1-2 und 0,1 bis 0,3 zu sehen.
Dort wird die gewünschte Randbedingung verletzt.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Danke schonmal.
MfG
Prom
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> danke für die rasche Antwort.
> Ich meine du hast Recht. Ich habe im Anhang mal eine kurze
> Beispieldatei (xls) mit einer typischen Werteverteilung
> angehangen.
(angehängt ? ...)
> Die Probleme bei allen Splines, welche ich ausprobiert habe
> sind in diesem Beispiel in den x-Intervallen 1-2 und 0,1
> bis 0,3 zu sehen.
>
> Dort wird die gewünschte Randbedingung verletzt.
>
> Datei-Anhang
>
> Danke schonmal.
> MfG
> Prom
hallo Prom,
ich habe mir die Tabelle und Grafiken dazu angeschaut.
Nun meine Frage: muss es überhaupt ein Spline sein ?
Ich kann mir vorstellen, dass man mit einem geeigneten
formalen Ansatz und Regression eine "schönere" Kurve
erhalten kann als mit Splines !
Splines sind dann gerechtfertigt, wenn die Stützpunkte
absolut eingehalten werden müssen. Wenn es sich bei
den Stützpunktdaten um Messresultate handelt, die
auch fehlerbehaftet sein können, dann ist Regression
besser als Splines.
Also noch eine Frage: aus welchem Zusammenhang
kommen die Daten ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Prom08 |
Guten Abend,
es gibt zwei Fälle. Bei der einen Datenart muss es kein Spline sein.
Ein Spline schien mir nur die naheliegenste Lösung zu sein.
Die Daten sind in der Tat Messwerte. Bei einem formalen Ansatz und Regression wäre dann wohl die Frage, was für einen Fehler (Größenordnung) ich in Kauf nehmen müsste.
Bei der zweiten Datenart müssen die Stützpunkte exakt eingehalten werden. Ersteres wäre aber erstmal wichtiger (abhängig von der möglichen Fehlergröße).
Gruß
Prom
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Für die Tabelle, die du durchgegeben hast, sah ich
als möglichen Ansatz z.B. die Formel für logistisches
Wachstum oder allenfalls etwas Ähnliches.
Auffallend ist ja die offensichtliche Annäherung
an die waagrechte Tangente y=100 (es handelt
sich bei den Daten ja sehr wahrscheinlich um
Prozentangaben). Diese Eigenschaft kann man
mit verschiedenen Ansätzen leicht erfüllen.
al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Prom08 |
Im Prinzip besteht die Kurve aus verschiedenen Bereichen mit
Linearen (sehr kleine Wertebereiche) - logarithmischen (Umbiegen bei rund 10%) - lineare (MIttelteil der Kurve zwischen 20 und 80%) - logarithmischen (umbiegen in die Waagerechte) - linearen Wachstum.
Darf ich dich bitten mir einige der Ansätze zu verraten? :)
MfG
Prom
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> Im Prinzip besteht die Kurve aus verschiedenen Bereichen
> mit
>
> Linearen (sehr kleine Wertebereiche) - logarithmischen
> (Umbiegen bei rund 10%) - lineare (MIttelteil der Kurve
> zwischen 20 und 80%) - logarithmischen (umbiegen in die
> Waagerechte) - linearen Wachstum.
>
> Darf ich dich bitten mir einige der Ansätze zu verraten?
Ich denke an einen Ansatz, der nicht in Einzelstücke
unterteilt werden muss, sondern mit einer Formel
ganz [mm] \IR^+ [/mm] abdeckt. Anfangen würde ich mal mit
den Formeln
[mm] y=1-e^{-a*x^2}
[/mm]
[mm] y=1-\bruch{1}{1+a*x^k}
[/mm]
und (mit Grafik-TR) etwas mit den Parametern a und k
spielen. Wenn das nicht hinkommt, kann man etwas
andere Ansätze versuchen oder Korrekturterme
anbringen.
Aber heute mach' ich das nicht mehr.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:17 Do 04.12.2008 | | Autor: | Prom08 |
Beide Kurven weisen bei entsprechender Wahl von a und k gute Anpassungen auf, sind aber völlig vom eigentlichen Messwert (y) entkoppelt. x stellt in diesem Wertepaar eine feste, unveränderliche Bezugsgröße dar.
Die Variation an Wertepaaren bei verschiedenen Messungen ist vermutlich zu groß, um mit einem allgemeingültigen Wert für a und k auszukommen.
Wahrscheinlich müsste ich diese in Abhängigkeit von der Position des x-Bereichs wählen, in dem die Werte nicht nahe 0 oder 100 sind.
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> Beide Kurven weisen bei entsprechender Wahl von a und k
> gute Anpassungen auf, sind aber völlig vom eigentlichen
> Messwert (y) entkoppelt. x stellt in diesem Wertepaar eine
> feste, unveränderliche Bezugsgröße dar.
> Die Variation an Wertepaaren bei verschiedenen Messungen
> ist vermutlich zu groß, um mit einem allgemeingültigen Wert
> für a und k auszukommen.
>
> Wahrscheinlich müsste ich diese in Abhängigkeit von der
> Position des x-Bereichs wählen, in dem die Werte nicht nahe
> 0 oder 100 sind.
Wenn das Experiment doch einigermassen "stabil", also
reproduzierbar ist und wiederholt werden kann, wäre es
zur Aufstellung eines theoretischen Modells ohnehin
angezeigt, dies zu tun und dann eine gemittelte Kurve
zu bestimmen.
Das beste, was ich mit etwas Pröbeln zustande gebracht
habe, ist:
[mm] y\approx100*\left(1-\bruch{1}{1+x/6+3x^4+15x^6}\right)
[/mm]
Frag mich aber nicht, wie dies im Detail ging - dieser
Prozess ist eher nicht reproduzierbar ... 
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Prom08 |
Hmm, die Formeln sind alle gut und beschreiben die Kurven, wenn ich sie anpasse ganz gut, aber ich denke, dass der Weg losgelöst von den Messwerten, doch der Falsche ist.
Die x-Werte, an denen sich die Formeln orientieren sind nur Klasse innerhalb derer die Werte ganz unetrschiedlich verteilt sein können.
Da macht eine Formel wenig Sinn.
Also muss es wohl doch ein Spline sein. Trotzdem vielen Dank für deine umfangreiche Hilfe.
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> Hmm, die Formeln sind alle gut und beschreiben die Kurven,
> wenn ich sie anpasse ganz gut, aber ich denke, dass der Weg
> losgelöst von den Messwerten, doch der Falsche ist.
hallo Prom !
Da sehe ich schon noch ein gewisses Missverständnis: ich
habe die Formeln natürlich sehr wohl mit Blick auf deine
Messwerte entworfen und eine Art Regressionsfunktion
konstruiert. Mit Splines bringst du es zwar fertig, die
(mit Messfehlern behafteten !!) Datenpunkte exakt zu
treffen - aber für den Bereich zwischen den Stützstellen
machst du damit bestimmt auch nichts besseres als mit einer
gut gewählten Anpassung durch eine Regressionsfunktion.
al-Chw.
>
> Die x-Werte, an denen sich die Formeln orientieren sind nur
> Klasse innerhalb derer die Werte ganz unetrschiedlich
> verteilt sein können.
>
> Da macht eine Formel wenig Sinn.
>
> Also muss es wohl doch ein Spline sein. Trotzdem vielen
> Dank für deine umfangreiche Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:50 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Prom08 |
hallo Prom !
Da sehe ich schon noch ein gewisses Missverständnis: ich
habe die Formeln natürlich sehr wohl mit Blick auf deine
Messwerte entworfen und eine Art Regressionsfunktion
konstruiert. Mit Splines bringst du es zwar fertig, die
(mit Messfehlern behafteten !!) Datenpunkte exakt zu
treffen - aber für den Bereich zwischen den Stützstellen
machst du damit bestimmt auch nichts besseres als mit einer
gut gewählten Anpassung durch eine Regressionsfunktion.
al-Chw.
Hi al-Chw,
dann habe ich deine Funktionen tatsächlich nicht soweit durchschaut um das zu erkennen. Es tauchen für mich bloß zwei Probleme auf. Das Beispiel was ich gegeben habe ist tatsächlich eine einfacher Kurvenverlauf. Die "Messwerte" die ich jeweils zu den Klassen erhalte können - bei gleicher grundlegender Systematik - auch wesentlich weiter Streuen. Ein Beispiel habe ich in der Tabelle beigefügt. Daher mein Schwenk zu den Splines, da ich annehme, dass diese beiden Verläufe mit "einer" Regressionsfunktion nicht erschlagen werden können.
Sicher hast du mit deinem wiederholten Hinweis auf Messfehler behaftete Messwerte recht. Da ich aber aus dem Verlauf der Kurve und gewissen Schnittpunkten Parameter ableite, ist das Einhalten der Messwerte als Kurvenbestandteil doch wichtig.
Sorry für die Arbeit, die du in die Fomeln gesteckt hast. Für mein erstes gegebenes Beispiel haben diese eine sehr schöne Anpassung ergeben. Hab leider erste jetzt die Notwendigkeit der Messwerttreue erkannt.
Gruß
prom
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Prom08 |
Hallo Al-Chw,
im Anhang wie besprochen die Beispieldatei.
Gruß
Prom
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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