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Spielwürfel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:40 Do 25.08.2011
Autor: folken

Aufgabe
Wie oft muss man mit einem gewöhnlichen, fairen Spielwürfel mindestens würfeln, damit
mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens eine Sechs fällt?

Hallo,
ich weiss grade nicht weiter. Bisher habe ich mir folgendes Gedacht:

P(X<x)= 0,95

=> in der Tabelle nachschauen => x = 1,65

Durch den zentralen Grenzwertsatz wüsste man ja noch folgendes:

1,65= x = [mm] \bruch{X-\mu}{\sigma}, [/mm] dadurch dass das geometrisch verteilt ist, könnte man für [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] was einsetzen, aber keine genauen Werte. Naja und weiter weiss ich halt nicht.

        
Bezug
Spielwürfel: ohne Tabelle !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:47 Do 25.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Wie oft muss man mit einem gewöhnlichen, fairen
> Spielwürfel mindestens würfeln, damit
>  mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens eine Sechs
> fällt?
>  Hallo,
>  ich weiss grade nicht weiter. Bisher habe ich mir
> folgendes Gedacht:
>  
> P(X<x)= 0,95      [haee]
>  
> => in der Tabelle nachschauen => x = 1,65
>  
> Durch den zentralen Grenzwertsatz wüsste man ja noch
> folgendes:
>  
> 1,65= x = [mm]\bruch{X-\mu}{\sigma},[/mm] dadurch dass das
> geometrisch verteilt ist, könnte man für [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm]
> was einsetzen, aber keine genauen Werte. Naja und weiter
> weiss ich halt nicht.  


Hallo folken,

für diese Aufgabe brauchst du keine Tabelle! Am besten
löst du sie via Gegenwahrscheinlichkeit:

    P(gar keine Sechs in n Würfen) [mm] \le [/mm] 0.05

Diese Wahrscheinlichkeit kann man sehr einfach durch n
ausdrücken.

LG   Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Spielwürfel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:51 Do 25.08.2011
Autor: folken

Danke für deine Antwort.
Ist also die Lösung die Folgende Gleichung nach n aufzulösen:

[mm] (1-\bruch{5}{6})^{n-1}*\bruch{5}{6} [/mm] = 0,05

Man muss doch die geometrische Verteilung benutzen oder?


Bezug
                        
Bezug
Spielwürfel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Do 25.08.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Nicht ganz.

Die Wahrscheinlichkeit, KEINE 6 zu werfen ist [mm] \frac{5}{6} [/mm]

Also ist die Wahrscheinlichkeit, in n Würfen keine 6 zu bekommen:

[mm] P=\left(\frac{5}{6}\right)^{n} [/mm]

Somit suchst du das kleinste [mm] n\in\IN, [/mm] für das gilt:

[mm] \left(\frac{5}{6}\right)^{n}<0,05 [/mm]

Marius



Bezug
                                
Bezug
Spielwürfel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 Do 25.08.2011
Autor: folken

Danke für deine Antwort.

Lässt sich den [mm] (\bruch{5}{6})^n [/mm] durch die geometrische Verteilung erklären?
Oder kann man diese hier nicht verwenden?

Bezug
                                        
Bezug
Spielwürfel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 Do 25.08.2011
Autor: M.Rex

Hallo nochmal.

Das ist eigentlich die Binomialverteilung.

Sein [mm] \mathcal{X} [/mm] die Anzahl der gewürfelten 6er
Dann gilt:
[mm] P(\mathcal{X}=0)=\underbrace{\vektor{n\\ 0}}_{=1}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\cdot\underbrace{\left(1-\frac{1}{6}\right)^{0}}_{=1} [/mm]
Marius



Bezug
                                        
Bezug
Spielwürfel: geom. Verteilung: bitte sehr !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Do 25.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Danke für deine Antwort.
>  
> Lässt sich den [mm](\bruch{5}{6})^n[/mm] durch die geometrische
> Verteilung erklären?
>  Oder kann man diese hier nicht verwenden?


Wenn du unbedingt erzwingen willst, dass hier die
geometrische Verteilung zum Einsatz kommen soll,
dann kannst du das schon haben - es wird nur nicht
einfacher !

Die Aussage "keine Sechs in n Würfen" könnte man auch
formulieren als: "erste Sechs frühestens im (n+1)-ten Wurf"
Dann wird

     P(keine Sechs in n Würfen)

     = [mm] $\summe_{k=n+1}^{\infty}$P(erste [/mm] Sechs im k-ten Wurf)

     $\ =\ [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{6}*\left(1-\frac{1}{6}\right)^{k-1}$ [/mm]

Inhaltlich gesehen ist das zwar wie das von hinten
aufgezäumte Pferd, denn zur Herleitung der geome-
trischen Verteilung geht man zunächst von der
einfacheren Binomialverteilung aus.

LG   Al-Chw.


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