Spiegelungen und Drehung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Sa 11.01.2014 | | Autor: | lapeiluw |
| Aufgabe | Die Hintereinanderausführung von vier Spiegelungen an den Geraden [mm] a, b, c, d [/mm] ist eine Drehung. Ermitteln Sie in der Vorgabe H7 konstruktiv das Drehzentrum und den Drehwinkel der resultierenden Drehung. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie für den Punkt [mm] P [/mm] sowohl die vier Spiegelungen als auch die ermittelte Drehung ausführen.
(Hinweis: Ersetzen Sie die Spiegelgeradenpaare so, dass zwei aufeinanderfolgende Spiegelungen die Identität ergeben.) |
Hallo zusammen,
ich muss sagen, dass ich die Aufgabe nicht verstehe... In der Vorgabe schneiden sich die jeweils 2 Geradenpaare, und zwar a schneidet b und c schneidet d. Anbei ist eine Datei mit der Vorgabe.
Mein Problem liegt darin, dass ich bezweifle, dass die Spiegelung an den vier Geraden überhaupt eine Drehung ist... ich bekomme 4 Spielpunkte heraus, die NICHT auf einem Kreis liegen... wie kann es da eine Drehung sein?
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 So 12.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
spiegle 2 Punkte an den vier Geraden. natürlich liegen jetzt nicht alle Spiegelpunkte auf einem kreis. du nimmst einen Punkt A an a gespiegelt ergibt sich A1, A1 an b gespiegelt ergibt A2, der an c gespiegelt A3 und an d gespiegelt A4
Behauptung man kann A auch direkt nach A4 drehen, das Drehzentrum liegt auf der Mittelsenkrechten von AA4, also musst du dasselbe mit einem punkt B machen, wieder mittelsenkrechte BB4 Schnittpunkt der 2 mittelsenkrechten ist das Drehzentrum.
zeichne am besten etwa mit geogebra, dann ist auch leicht zu sehen 8oder zu bestimmen, dass der Drehwinkel von A auf A4 derselbe ist, wie von B auf B4.
(vielleicht überzeugst du dich zuerst davon, dass die Spiegelung an 2 Geraden eine Drehung um den Schnittpunkt der Geraden und dem doppelten Schnittwinkel ist.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 12.01.2014 | | Autor: | lapeiluw |
Also ich hab das mal probiert, und auch mit geogebra, das funktioniert schon,... nur dazu braucht man ja wirklich immmer nen zweiten Punkt zum spiegeln um genau EINEN DRehpunkt zu erhalten. ALso wenn man nur einen Punkt hat, hat man die in meiner Zeichnung rote MIttennormale, auf der überall der DRehpunkt von P auf P'''' liegen kann. (Leider stürzt geogebra immer wieder ab, so dass ich es nicht schaffe, die komplette Konstruktion durchzuführen).
Ist da die Aufgabenstellung nicht irreführend, wenn man zwei Ausgangspunkte für ein ganz konkretes DRehzentrum benötigt?
Aber erstmal danke für den Tipp. Ich werde mich auch mal an der Idee von Sax versuchen. Da muss man allerdings die Winkel erstmal messen, oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 So 12.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Unterschied zwischen leduarts und meinem Verfahren lässt sich vielleicht mit zwei Methoden vergleichen, einen Term für die Summe s = 1+2+3+...+n zu finden.
Man kann entweder einen Ansatz der Form s = [mm] a*x^2+b*x+c [/mm] hinschreiben und dann drei konkrete Zahlen für x einsetzen, um aus dem Gleichungssystem den gesuchten Term zu bestimmen, das entspricht dem Arbeiten mit konkreten Punkten, die gespiegelt werden.
Oder man arbeitet direkt mit der Summe und findet den geschlossenen Ausdruck durch Anwenden algebraischer Regeln, das entspricht dem Arbeiten mit den Geradenspiegelungen und dem Anwenden von Regeln bzgl. der Assoziativität und der Inversenbildung bei der Komposition von Abbildungen.
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 So 12.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Hinweis ist folgendermaßen zu verstehen :
Die Nacheinanderausführung von zwei Geradenspiegelungen an zwei sich schneidenden Geraden a und b ist eine Drehung um den Schnittpunkt dieser Geraden mit einem Drehwinkel, der gleich dem doppelten Winkel zwischen a und b ist. Diese Drehung hängt also nur von der Lage des Schnittpunktes und der Größe des Winkels ab, aber nicht von der tatsächlichen Lage der Geraden a und b. Die Drehung bleibt unverändert, wenn das Geradenpaar a,b um den Schnittpunkt rotiert. Deshalb kannst du es soweit rotieren, bis ein Geradenpaar a',b' ensteht, bei dem b' durch [mm] S_2 [/mm] verläuft.
Das entsprechende gilt für die zweite Drehung um [mm] S_2, [/mm] welche die Nacheinanderausführung der Spiegelungen an den Geraden c und d ist. Diesmal wird das Geradenpaar c,d so um [mm] S_2 [/mm] rotiert, dass ein Geradenpaar c',d' entsteht, bei dem c' durch [mm] S_1 [/mm] verläuft.
Nun ist b'=c'. Daraus folgt, dass die vier Geradenspiegelungen an a', b', c', d' zu zwei Spiegelungen an a' und d' werden, also zu einer Drehung um den Schnittpunkt dieser Geraden mit dem doppelten Winkel zwischen ihnen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 12.01.2014 | | Autor: | S0laris |
Hallo,
ich habe die gleiche Aufgabenstellung und verstehe auch soweit deinen Lösungsweg. Der Schnittpunkt aus a' und d' wäre also das Drehzentrum, aber wieso kann man b' bzw. c' bei der Spegelung einfach vernachlässigen? Schließlich müssten man ja eine Art Dreieck mit den 3 Spiegelseiten erhalten. Rein geometrisch funktioniert es natürlich wenn man b' bzw. c' vernachlässigt, nur verstehe ich nicht ganz warum man das darf.
beste Grüße,
S0laris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 So 12.01.2014 | | Autor: | S0laris |
Hallo,
hab gerade bemerkt wo mein Denkfehler lag, natürlich spiegelt man auch weiterhin 4 mal nur das nun b' und c' identisch sind womit die beiden Spiegelungen irrelevant werden und nur a' und d' übrig bleiben.
Danke nochmal für die Lösungen,
S0laris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 So 12.01.2014 | | Autor: | lapeiluw |
Danke, nun ist auch bei mir der Groschen gefallen...
Vielen Dank an Euch!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 So 12.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
an b'=c' wird düch 2 mal gespiegelt, das hebt sich auf, also spiegelt man nur an a' und d'.
hier noch die Geogebra Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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