Spiegelung an einer Geraden < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
das ist jetzt meine erste Aufabe mit Spiegelung.
Die Aufgabenstellung lautet:
Stellen Sie die Spiegelung des Punktes [mm] x=\vektor{x1 \\ x2}
[/mm]
an der Geraden [mm] g=\vektor{1 \\ t} [/mm] mit Hilfe einer linearen Abbildung und Translation da.
Da die Gerade parallel zu y Achse ist, ändert sich bei einer Spiegelung um den Ursprung, nur das Vorzeichen der x1 Koordinate von x.
Daraus habe ich mir die Matrix
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] gebastelt.
Das wäre dann ja laut Aufgabenstellung meine lineare Abbildung.
Das ganze muss jetzt noch um 2 auf der x Achse nach rechts verschoben werden.
Also
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 0}
[/mm]
das letzte wäre dann doch meine Translation oder?
Viele Grüße
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Das Problem von Drehungen und Spiegelungen mittels Matrizen ist, dass sie sich nur in/durch den 0-Punkt durchfürhren lassen. (da [mm] M*\vec{0}=\vec{0})
[/mm]
Deine Gerade geht aber nicht durch [mm] \vektor{0\\0}.
[/mm]
Daher brauchst du nun die Translation, mit der du deine Spigelachse auf [mm] \vektor{0\\0} [/mm] verschiebst. Nach der Spiegelung muss das dann wieder korrigiert werden.
Also: [mm] -\vektor{t_1\\t_2}+\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }(\vektor{t_1\\t_2}+\vektor{x_1\\x_2})
[/mm]
Ciao.
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