Spiegelung an Gerade < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beschreibe eine Spiegelung an der Geraden [mm] \vec{v}=\vektor{-2 \\ 1}. [/mm] |
Also, ich weiß ja das gilt: Av=v. Zum Vektor v kann ich einen Vektor w finden, der orthogonal zu v ist, z.B. [mm] w=\vektor{1 \\ 2} [/mm] mit Aw=-w.
Ich weiß, dass die Spalten einer Abbildungsmatrix die Bilder der Einheitsvektoren sind, deshalb versuche ich die Einheitsvektoren als Linearkombination durch v und w darzustellen:
[mm] \vektor{1 \\ 0}=-\frac{2}{5}\cdot\vektor{-2 \\ 1}+\frac{1}{5}\cdot\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1}=\frac{1}{5}\cdot\vektor{-2 \\ 1}+\frac{2}{5}\cdot\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Ab jetzt weiß ich nicht mehr, was ich tun soll, als Ergebnis soll die Matrix [mm] A=\pmat{3/5 & -4/5 \\ -4/5 & -3/5} [/mm] herauskommen. Da steht noch, dass gerechnet wird:
1. Spalte: [mm] A\cdot\vec{e_1}=\vektor{3/5 \\ -4/5}
[/mm]
2. Spalte: [mm] A\cdot\vec{e_2}=\vektor{-4/5 \\ -3/5}
[/mm]
Wenn A gesucht ist, wie soll ich es dann mit [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] verrechnen?!
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Die Frage ist: hattet ihr schon Basistransformation? Normalerweise löst man solche Aufgaben, indem man sich ein Basis-System sucht, dass der Aufgabe optimal angepasst ist (das hast du) und danach die sog. Transformationsmatrizen aufstellt, die zwischen den Basis-Systemen wechseln (also hier kartersische Standardbasis [mm] $\{e_1,e_2\}$ [/mm] und der Basis der Spiegelgeraden [mm] §\{v,w\}$). [/mm] Danach kann man direkt die Transformationsmatrix $S$ aufstellen, die von der neuen Basis zur Standardbasis geht, da die Darstellung der Vektoren des neuen Systems in kartesisch bekannt sind:
[mm] $S=\pmat{ -2 & 1 \\1 & 2 }$ [/mm]
Diese muss man noch invertieren, also [mm] $S^{-1}$ [/mm] bilden. Das beschreibt dann die Wandlung von Koordinaten des alten kanonischen Basissystems in die neuen Koordinaten. Auch hier hast du dir ja bereits die Koordinaten hergeleitet:
[mm] $S^{-1}=\pmat{ -2/5 & 1/5 \\ 1/5 & 2/5 }$
[/mm]
Dann gilt der Satz: Eine Martix D ist ähnlich zu A, wenn die folgende Beziehung gilt:
[mm] $D=S^{-1}AS$.
[/mm]
Das heißt, wir berechnen die eigentliche Spiegelung mit A, hier allerdings bezogen auf das neue Basissystem und transformieren dann die Ergebnisse zurück ins kartesische System.
Denn A kannst du ja dank der geschickten Wahl einer neuen Basis direkt angeben:
[mm] $A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }$
[/mm]
So das alles hilft dir aber vielleicht gar nichts, da du das noch nicht hattest, aber es liefert das korrekte Ergebnis. Was dir bei deinem Ansatz noch fehlt, ist diese Transformation. Du hast v und w korrekt bestimmt, also ihre Bilder, du müsstest also meine MAtrix A oben bereits selbst bestimmt haben. A gilt jetzt aber nur für diese neue Basis, also könnte man das so schreiben:
[mm] $A^{B' \rightarrow B'}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }$, [/mm] wobei die Basis B' hier die neue Basis [mm] $\{v,w\}$ [/mm] sein soll. Damit du jetzt deine Abbildungsmatrix A' bezüglich des kanonischen Einheitssystems bestimmen kannst, musst du ja normalerweise die Abbilder der Einheitsvektoren bestimmen. Also brauchst du [mm] $A*\vec{e_1}$ [/mm] und [mm] $A*\vec{e_2}$. [/mm] Du hast aber A gar nicht gegeben, sondern nur eine Abbildungsmatrix A, die bezüglich einer anderen Basis gilt. Daher, wie du auch bereits getan hast, müssen [mm] $e_1,e_2$ [/mm] erstmal im neuen Basisystem B' dargestellt werden. Dann kann man diese Vektoren in die Abbildungsmatrix A stecken. Tun wir dies:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }*\pmat{ -2/5 \\ 1/5}=\pmat{ -2/5 \\ -1/5 }$
[/mm]
[mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }*\pmat{ 1/5 \\ 2/5}=\pmat{ 1/5 \\ -2/5 }$
[/mm]
Damit hast du die Bilder der Einheitsvektoren, allerdings in Bezug auf das v,w System. Was jetzt noch fehlt, ist eine Rücktransformation in das kanonische Einheitsystem. Dann hast du die Bilder der Einheitsvektoren, die genau die gesuchte Abbildungsmatrix ergeben. Das kannst du ja noch selbst vornehmen, die Gleichungen hast du ja alle.
Fassen wir zusammen: Wir haben A bezüglich einer neuen, besseren Basis v,w aufgestellt und eine Abbildungsmatrix gewonnen. Wir suchten dann dieselbe Abbildungsmatrix A' bezüglich der kanonischen Einheitsbasis. Dazu haben wir die Einheitsvektoren durch das neue Basissystem dargestellt, in die Abbildungsmatrix A gestopft und danach zurücktransformiert. Wenn du dir das einmal durch den Kopf gehen lässt, ist es exakt das, was ich eingangs erläutert habe mit der GLeichung:
[mm] $D=S^{-1}AS$.
[/mm]
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