Spiegelung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Di 13.05.2008 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden wird beschrieben durch
[mm] A=\pmat{ cos2\alpha & sin2\alpha \\ sin2\alpha & -cos2\alpha }
[/mm]
Berechne die Eigenwerte und Eigenräume |
die eigenwerte w sind mir klar, 1 und -1
aber ich krieg es irgendwie nicht hin, die eigenräume auszurechnen.
theoretisch weiß ich wie es geht,nur die praktische ausführung funktioniert nicht.
ich weiss dass ich ker(wE-A) ausrechenen muss,also für w=1:
[mm] \pmat{ 1-cos2\alpha & -sin2\alpha \\ -sin2\alpha & 1+cos2\alpha } \vektor{x \\ y} [/mm] =0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Di 13.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo Briddi,
du hast ja ein homogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (x,y) und zwei Gleichungen gegeben:
[mm] (1-cos2\alpha)*x -sin2\alpha*y=0
[/mm]
[mm] -sin2\alpha*x+ (1-cos2\alpha)*y=0
[/mm]
Da ich bei der Eigenraumbestimmung weiß, dass die triviale Lösung (x,y)=(0,0) nicht in Frage kommt, finde ich erstmal eine mögliche Lösung der ersten Gleichung: die hat die Form a*x+b*y=0, am einfachsten ist es dann sowas zu nehmen wie [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{b \\ -a}. [/mm] Bei dir wäre das dann eben [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{sin2\alpha \\ 1-cos2\alpha}
[/mm]
Dann musst du noch überprüfen, ob (x,y) auch die zweite Gleichung erfüllt und gegebenenfalls noch normieren (wenn das bei euch gefordert ist).
So einfach geht das aber nur bei [mm] 2\times2- [/mm] Matrizen, bei größeren Matrizen musst du das lineare Gleichungssystem z.B. durch Gauß-Jordan (elementare Zeilenumformungen, habt ihr bestimmt gemacht) lösen.
Gruß,
Vreni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 13.05.2008 | | Autor: | briddi |
danke, das leuchtet mir ja sogar ein,nur ich hab halt aus der vorlesung andere ergebnisse vorliegen,auf die ich nicht komme und zwar für w=1 : t [mm] \vektor{ cos\alpha \\ sin \alpha}
[/mm]
für w=-1 t [mm] \vektor {cos\alpha \\ -sin \alpha}
[/mm]
durch welche umformung krieg ich denn das [mm] 2\alpha [/mm] weg??oder wie kommt man darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Di 13.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst nur auf ne Lösung hoffen, wenn du [mm] cos(2\alpha) sin(2\alpha)als cos\alpha [/mm] und sin [mm] \alpha [/mm] schreibst. z. Bsp [mm] :1+cos(2\alpha)=2*cos^2\alpha
[/mm]
[mm] 2*sin^2\alpha=1-cos2\alpha [/mm]
Gruss leduart
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