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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mi 30.12.2015 | | Autor: | Laura22 |
Hallo! :)
Ich habe mich gerade gefragt, ob für ein x [mm] \in \IR^n [/mm] die Räume [mm] \IR^n-{x} [/mm] und [mm] S^{n-1} [/mm] (="Einheitssphäre mit Mittelpunkt x") homöomorph sind. Dazu habe ich die folgende Abbildung definiert:
[mm] h:\IR^n-{x} \to S^{n-1} [/mm] ,
y [mm] \mapsto \bruch{y-x}{\parallel y-x\parallel}
[/mm]
(a) Stetigkeit: klar als Komposition stetiger Abb.
Ich schaffe es nicht zu zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist. Ich komme mir gerade wahnsinnig doof vor, aber sieht jemand die Umkehrabbilung zu h auf einen Blick?
viele Grüße,
Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 30.12.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo! :)
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> Ich habe mich gerade gefragt, ob für ein x [mm]\in \IR^n[/mm] die
> Räume [mm]\IR^n-{x}[/mm] und [mm]S^{n-1}[/mm] (="Einheitssphäre mit
> Mittelpunkt x") homöomorph sind. Dazu habe ich die
> folgende Abbildung definiert:
>
> [mm]h:\IR^n-{x} \to S^{n-1}[/mm] ,
> y [mm]\mapsto \bruch{y-x}{\parallel y-x\parallel}[/mm]
>
> (a) Stetigkeit: klar als Komposition stetiger Abb.
O.K.
> Ich schaffe es nicht zu zeigen, dass die Abbildung
> bijektiv ist.
Untersuche bitte $h$ auf einer Geraden durch $x$.
> Ich komme mir gerade wahnsinnig doof vor,
> aber sieht jemand die Umkehrabbilung zu h auf einen Blick?
>
> viele Grüße,
> Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mi 30.12.2015 | | Autor: | Laura22 |
Danke für deinen Hinweis! Habe nun also eine Gerade durch x und einen beliebigen Punkt z genommen: x + t(z-x) und darauf h angewendet. Man sieht dann, dass h(x + t(z-x))=h(z) für alle t [mm] \in \IR-{0}. [/mm] Also wird jeder Punkt einer Geraden unter h auf ein und denselben Punkt der Sphäre abgebildet. Das bedeutet, dass meine Abbildung also nicht injektiv sein kann...wie sieht der Homöomorphismus denn dann aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 30.12.2015 | | Autor: | hippias |
> Danke für deinen Hinweis! Habe nun also eine Gerade durch
> x und einen beliebigen Punkt z genommen: x + t(z-x) und
> darauf h angewendet. Man sieht dann, dass h(x +
> t(z-x))=h(z) für alle t [mm]\in \IR-{0}.[/mm] Also wird jeder Punkt
> einer Geraden unter h auf ein und denselben Punkt der
> Sphäre abgebildet.
Das ist nicht richtig.
> Das bedeutet, dass meine Abbildung also
> nicht injektiv sein kann...
Trotzdem richtig.
> wie sieht der Homöomorphismus
> denn dann aus?
Versuche einen anderen Ansatz.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:27 Mi 30.12.2015 | | Autor: | Laura22 |
> Versuche einen anderen Ansatz.
Naja, genau der fehlt ja. Ich frage mich langsam, ob die beiden überhaupt homöomorph sind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 30.12.2015 | | Autor: | hippias |
Das ist doch ein anderer Ansatz...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 30.12.2015 | | Autor: | Laura22 |
Ok, also sind sie scheinbar nicht homöomorph (weil in wahrscheinlich meistens dann die Injektivität nicht klappt). Sind sie denn vielleicht homotopieäquivalent?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Do 31.12.2015 | | Autor: | hippias |
Wie lauetet die Definition der Homotopieäquivalenz? Ist die Bedingung erfüllt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Do 31.12.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Laura,
was Homotopieäquivalenz betrifft, so kannst du etwas besseres finden. Jeder Deformationsretract ist eine Homotopieäquivalenz.
Du kannst sehr einfach zeigen, dass [mm] $R^n\setminus x\simeq S^{n-1}$ [/mm] homotopieäquivalent via Deformationsretraktion [mm] ($S^{n-1}$ [/mm] ist Deformationsretrakt von [mm] $R^n\setminus [/mm] x$) sind. Anschaulich musst du dir überlegen, wie du die Punkte "fließen" lässt. Ich folge bei meinen Definitionen Hatcher.
LG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 31.12.2015 | | Autor: | Laura22 |
Hallo!
Danke für die vielen Hilfestellungen. Ich habe nun etwas gesucht und im Buch Algebraic topology von Hatcher die Definition eines Deformationsretraktes gefunden. Anschaulich ist das scheinbar schlicht das Zusammenziehen des in meinem Falle gegebenen Raumes [mm] \IR^n [/mm] -{x} auf die Sphäre mit Mittelpunkt x. Die gesuchte Homotopie würde ich jetzt folgendermaßen aufschreiben:
[mm] H:\IR^n [/mm] -{x} [mm] \times [/mm] I [mm] \to \IR^n [/mm] -{x}
(y,t) [mm] \mapsto [/mm] (1-t)y + t [mm] \frac{y-x}{\parallel y-x \parallel}
[/mm]
Damit ziehe ich dann jeden Punkt linear auf einer Geraden auf die Sphäre zurück. Es gilt:
H(y,0)=y = [mm] id_{\IR^n -{x}}(y)
[/mm]
[mm] H(y,1)=\frac{y-x}{\parallel y-x \parallel}.
[/mm]
Für y [mm] \in S^{n-1} [/mm] gilt insbesondere [mm] H(y,t)=y=id_{S^{n-1}}(y).
[/mm]
Geht das so in Ordnung?
Viele Grüße und guten Rutsch,
Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Fr 01.01.2016 | | Autor: | Ladon |
Hallo Laura,
du kannst es sogar noch vereinfachen und o.E. annehmen $x=0$. Ich denke die Stetigkeit der Abbildung ist dir klar.
Deformationsretrakte machen genau das, was du anschaulich beschrieben hast. Wenn du weiter in algebraischer Topologie voranschreitest, ist es m.E. wichtig sich diese anschauliche Vorstellung zu erhalten.
Liebe Grüße,
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Fr 01.01.2016 | | Autor: | Laura22 |
Hey,
ja richtig, die Stetigkeit ist klar. :) Dann danke ich dir/euch nochmal!!!
Liebe Grüße,
Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 01.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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