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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Sa 16.02.2008 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | Sei r>0, [mm] N_r:= \{(x,0,z) \in \IR^3 : x^2+z^2 = r^2 , x \ge 0\}
[/mm]
und [mm] B_r [/mm] bzw. [mm] S_r [/mm] die Kugel bezüglich der euklidischen Metrik bzw. die Sphäre mit Mittelpunkt 0 und Radius r. Sei
[mm] \vec{F}(x,y,z) [/mm] := (y,z,x) [mm] \forall [/mm] (x,y,z) [mm] \in \IR^3
[/mm]
Berechnen Sie [mm] $\int_{S_r\backslash N_r} \vec{F} [/mm] d [mm] \vec{S}$ [/mm] |
Hallo. Wir haben es so gelöst:
Definiere F mit [mm] S_r [/mm] = [mm] \{ F = 0 \} [/mm] mit F(x,y,z):= [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = r
(Das ist mir schonmal unklar, waurm soll das gleich r sein?
[mm] \nabla [/mm] F(x,y,z) = (2x,2y,2z)
=> [mm] \vec{n} [/mm] (x,y,z) := [mm] \frac{\vec{\nabla F(x,y,z)}}{||\nabla F(x,y,z)||} [/mm] = [mm] \frac{2(x,y,z)}{2*||(x,y,z)||} [/mm] = [mm] \frac{(x,y,z)}{r}
[/mm]
Wieso steht im Nenner r? Dann miss es doch [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = [mm] r^\red{2} [/mm] heißen?
Grüße
Savoyen
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Hi,
> Sei r>0, [mm]N_r:= \{(x,0,z) \in \IR^3 : x^2+z^2 = r^2 , x \ge 0\}[/mm]
>
> und [mm]B_r[/mm] bzw. [mm]S_r[/mm] die Kugel bezüglich der euklidischen
> Metrik bzw. die Sphäre mit Mittelpunkt 0 und Radius r. Sei
>
> [mm]\vec{F}(x,y,z)[/mm] := (y,z,x) [mm]\forall[/mm] (x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]\int_{S_r\backslash N_r} \vec{F} d \vec{S}[/mm]
>
> Hallo. Wir haben es so gelöst:
>
> Definiere F mit [mm]S_r[/mm] = [mm]\{ F = 0 \}[/mm] mit F(x,y,z):=
> [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] = r
>
> (Das ist mir schonmal unklar, waurm soll das gleich r
> sein?
du hast recht, das stimmt nicht. es sollte [mm] $F=x^2+y^2+z^2-r^2$ [/mm] definiert sein, damit [mm] $S_r=F^{-1}(0)$ [/mm] gilt.
>
> [mm]\nabla[/mm] F(x,y,z) = (2x,2y,2z)
>
> => [mm]\vec{n}[/mm] (x,y,z) := [mm]\frac{\vec{\nabla F(x,y,z)}}{||\nabla F(x,y,z)||}[/mm]
> = [mm]\frac{2(x,y,z)}{2*||(x,y,z)||}[/mm] = [mm]\frac{(x,y,z)}{r}[/mm]
>
> Wieso steht im Nenner r? Dann miss es doch [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] =
> [mm]r^\red{2}[/mm] heißen?
nein. [mm] $|(x,y,z)|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r$
[/mm]
>
> Grüße
> Savoyen
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 17.02.2008 | | Autor: | Savoyen |
Hallo
> > Wieso steht im Nenner r? Dann miss es doch [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] =
> > [mm]r^\red{2}[/mm] heißen?
>
> nein. [mm]|(x,y,z)|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r[/mm]
> >
Kannst du mir denn auch sagen, wieso das gleich r sein soll? Wegen [mm] x^2+z^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
y war konstant gleich 0, also
[mm] x^2+z^2+y^2=r^2 [/mm]
Nach Definition von $ [mm] N_r:= \{(x,0,z) \in \IR^3 : x^2+z^2 = r^2 , x \ge 0\} [/mm] $?
Oder wie komme ich aufs r?
Grüße
Savo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 So 17.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] S_r [/mm] war doch gegeben als die Sphäre F=0 [mm] F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2 [/mm] d,h, [mm] x^2+y^2+z^2=0
[/mm]
[mm] N_r [/mm] ist der Halbkreis ( halb wegen [mm] x\ge0) [/mm] in der x-z-Ebene (y=0).
Gruss leduart
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