Spezielle Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Mi 21.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Hi,
man hat zum Beispiel das Integral von [mm] \sqrt{1-x^{2}}, [/mm] da substituiert man ja jetzt mit x= sin(x) ; nur wie findet man so was heraus?
Wie "erkennt" man solche Fälle? Auswendig üben? Oder gibts hierbei nen Trick?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
|
|
| |
|
Hallo,
du kannst hier mit $\ x = [mm] \sin [/mm] u $ substituieren, musst aber nicht.
Es bietet sich allerdings an, denn es ist $\ [mm] \wurzel{1-\sin^2 u } [/mm] = [mm] \pm \cos [/mm] u $
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:29 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
> du kannst hier mit [mm]\ x = \sin x[/mm] substituieren, musst aber
> nicht.
Du meinst bestimmt: $x \ := \ [mm] \sin\red{u}$ [/mm] .
> Es bietet sich allerdings an, denn es ist [mm]\ \wurzel{1-\sin x } = \cos x[/mm]
Hier fehlt noch ein Quadrat unter der Wurzel.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:02 Do 22.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
> Hallo ChopSuey!
>
>
> > du kannst hier mit [mm]\ x = \sin x[/mm] substituieren, musst aber
> > nicht.
>
> Du meinst bestimmt: [mm]x \ := \ \sin\red{u}[/mm] .
>
>
> > Es bietet sich allerdings an, denn es ist [mm]\ \wurzel{1-\sin x } = \cos x[/mm]
>
> Hier fehlt noch ein Quadrat unter der Wurzel.
>
Ja, richtig. War zu eilig, da Besuch an der Tür war.
Vielen Dank für die Hinweise!
>
> Gruß
> Loddar
>
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Do 22.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok gehe ich mal davon aus, dass ich das umschreiben kann als [mm] (1-x^{2})^{-1/2} [/mm] und dann behandeln wie jedes andere?
was ja integriert : [mm] \frac{-1}{x}\cdot(1-x^{2})^{0.5} [/mm] ist ??
Was ist daran falsch???????
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Do 22.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
> Was ist daran falsch???????
Sowohl die Differentation als auch die Integration funktionieren eben nicht, indem man einfach faktorenweise differentiert bzw. integriert.
Dafür gibt es genau so etwas wie die  Produktregel oder partielle Integration.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Do 22.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Ja, ich sehe das Problem jetzt auch...
Dann gibt es keinen anderen Weg als das Wissen um diesen Trick?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Do 22.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja leider gibts keinen einfacheren anderen Weg. aber dass sin^2x+cos^2x=1 ist kommt so oft vor, dass man es nach einiger zit nicht mehr als "Trick" empfindet.
also ein paar wiederkehrende Tricks gibts schon in mathe.
hier sehen erfahrene Leute, dass wegen [mm] x^2+y^2=1 [/mm] , was ein kreis mit Radius 1 ist, man die fläche unter nem Viertelskreis sucht. Und die sin und cos fkt sind eben eng mit dem Kris verbunden.
dass du nicht auf die Idee selbst kommst ist aber ziemlich klar, die meisten von uns "alten Hasen" haben das auch ursprünglich nicht selbst gesehen, auch nicht deine LehrerIn:
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Do 22.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Wie nennt man solche Integrale? Gibt es dazu irgend eine Liste, wo man die lernen kann?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Do 22.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich gibts so ne liste nicht. Aber es ist sicher, dass man keinen "Trick" wissen muss, der nicht vorher im Unterricht mindestens einmal dran kam.
wüsstest du denn wie du [mm] \wurzel{4-x^2} [/mm] integrieren würdest, mit fast, aber nicht ganz dem Trick?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Do 22.04.2010 | | Autor: | kushkush |
In Binom aufteilen und partiell integrieren oder
[mm] 4(1-\frac{1}{4}x^{2}) [/mm] ausklammern? Aber keines von beidem bringt mich so wirklich weiter...
|
|
|
| |
|
Hallo,
der Trick ist hier auch trigonometrisch zu substituieren. Allgemein hilft bei einem Integrl der Form [mm] \integral{\wurzel{a-x^2}dx} [/mm] eine solche substitution allerdings in der Form
x:=C*sin(u), wobei [mm] C=\wurzel{a} [/mm] ist. Für das konkrete Beispiel also 2, dann hast du
[mm] \integral{\wurzel{4-x^2}dx}
[/mm]
x:=C*sin(u) [mm] \Rightarrow [/mm] dx=2*cos(u)du
[mm] \Rightarrow \integral{\wurzel{4-4sin^2(u)}*2*cos(u)du}=4*\integral{cos^2(u)du}
[/mm]
Benutze jetzt die Identität [mm] cos^2(u)=\bruch{1}{2}(1+cos(2u)) [/mm] und integriere Term für Term, danach Rücksubstitution und der Drops ist gelutscht, bzw. das Integral berechnet.
Gute Nacht!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke!
Was hat es mit dem "u" auf sich? Das habe ich ja gar nie definiert, wie kann ich das dann "rücksubstituionieren? Indem ich die Substituiertengleichung nach du auflöse und dann integriere?
Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo,
doch das u ist implizit definiert durch die Substitution, die da war [mm] x:=\wurzel{a}*sin(u) [/mm] .
Gehen wir das ganze mal durch:
[mm] \integral{\wurzel{4-x^2}dx}
[/mm]
Subsitution x:=2*sin(u)
[mm] \bruch{dx}{du}=2*cos(u) \Rightarrow [/mm] dx=2*cos(u)*du
[mm] \Rightarrow \integral{\wurzel{4-(2*sin^2(u)}*2*cos(u)*du}=\integral{2*\wurzel{1-sin^2(u)}*2*cos(u)*du}=\integral{4*\wurzel{1-sin^2(u)}*cos(u)*du}=\integral{4*cos(u)*cos(u)*du} [/mm] da [mm] cos^2(x)=1-sin^2(x) [/mm] also
[mm] \integral{4*cos^2(u)*du}=4*\integral{\bruch{1}{2}*(1+cos(2u)du}=2*\integral{(1+cos(2u)du}=2*\left[\integral{1 du}+\integral{cos(2u)du}\right]=2*\left[u+\bruch{1}{2}*sin(2u)\right]=2*u+sin(2u)
[/mm]
Jetzt die Rücksubstitution für u. Wir hatten x=2*sin(u) also ist [mm] u=arcsin\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] also
[mm] \integral{\wurzel{4-x^2}dx}=2*\left(arcsin\left(\bruch{x}{2}\right)\right)+sin\left(2*arcsin\left(\bruch{x}{2}\right)\right))=2*arcsin\left(\bruch{x}{2}\right)+\bruch{1}{2}*x*\wurzel{4-x^2}
[/mm]
Die allerletzte Umformung kannst du dir durch aufzeichnen des entsprechenden Dreiecks klar machen!
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Zum Rücksubstituieren also die "Substituiertengleichung" nach u auflösen!
Danke!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Do 22.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> du kannst hier mit [mm]\ x = \sin x[/mm] substituieren, musst aber
> nicht.
>
> Es bietet sich allerdings an, denn es ist [mm]\ \wurzel{1-\sin x } = \cos x[/mm]
>
?????????????
Korrekt:
[mm]\wurzel{1-sin^2 x } = |cos x|[/mm]
FRED
> ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Do 22.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> >
>
> ?????????????
>
> Korrekt:
>
>
> [mm]\wurzel{1-sin^2 x } = |cos x|[/mm]
Wie gesagt, ich war zu Eilig, da Besuch an der Tür war.
Sollte das in meiner Antwort mal korrigieren.
>
> FRED
>
>
>
> > ChopSuey
ChopSuey
|
|
|
|
