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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Spezielle Lösung
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Spezielle Lösung: Definition
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Do 28.08.2008
Autor: BlubbBlubb

Aufgabe
Man löse folgende DGL:

[mm] x'=(1+x)^{\bruch{1}{2}} [/mm]


zunächst würd ich sagen, es handelt sich hierbei um eine:

nicht lineare homogene DGL 1.Ordnung.


Lösungsmethode: Trennung d.Variablen

[mm] \bruch{dx}{dt}=(1+x)^{\bruch{1}{2}} [/mm]

[mm] \integral{\bruch{1}{(1+x)^{\bruch{1}{2}}}dx}=\integral{dt} [/mm]

[mm] 2*(1+x)^{\bruch{1}{2}}=t+C [/mm]

[mm] \wurzel{1+x}=\bruch{t+C}{2} [/mm]

[mm] x=(\bruch{t+C}{2})^2-1 [/mm]    

dies ist die allgemeine lösung dieser DGL.


x(1)=3:

[mm] 3=(\bruch{1+C}{2})^2-1 [/mm]
C=3

[mm] x=(\bruch{t+3}{2})^2-1 [/mm]  

dies ist die spezielle bzw eine spezielle lösung dieser DGL. seh ich das richtig?
        
Bezug
Spezielle Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Do 28.08.2008
Autor: schachuzipus

Hallo BlubbBlubb,

> Man löse folgende DGL:
>  
> [mm]x'=(1+x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> zunächst würd ich sagen, es handelt sich hierbei um eine:
>  
> nicht lineare homogene DGL 1.Ordnung.
>  
>
> Lösungsmethode: Trennung d.Variablen [ok]
>  
> [mm]\bruch{dx}{dt}=(1+x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>  
> [mm]\integral{\bruch{1}{(1+x)^{\bruch{1}{2}}}dx}=\integral{dt}[/mm]
>  
> [mm]2*(1+x)^{\bruch{1}{2}}=t+C[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{1+x}=\bruch{t+C}{2}[/mm]
>  
> [mm]x=(\bruch{t+C}{2})^2-1[/mm]     [ok]
>
> dies ist die allgemeine lösung dieser DGL. [ok]
>  
>
> x(1)=3:
>  
> [mm]3=(\bruch{1+C}{2})^2-1[/mm]
> C=3

Frage: $C=-5$ löst doch diese quadratische Gleichung auch, wieso kann denn die Funktion $x(t)$ mit $C=-5$ keine Lösung sein?

>
> [mm]x=(\bruch{t+3}{2})^2-1[/mm]  [ok]
>
> dies ist die spezielle bzw eine spezielle lösung dieser
> DGL. seh ich das richtig?  

Lösung zum Anfangswert $x(1)=3$

bzw. Lösung der (AWA): [mm] $x'=(1+x)^{\frac{1}{2}} [/mm] \ , \ x(1)=3$


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Spezielle Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Do 28.08.2008
Autor: BlubbBlubb


> Hallo BlubbBlubb,
>  
> > Man löse folgende DGL:
>  >  
> > [mm]x'=(1+x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> >
> >
> > zunächst würd ich sagen, es handelt sich hierbei um eine:
>  >  
> > nicht lineare homogene DGL 1.Ordnung.
>  >  
> >
> > Lösungsmethode: Trennung d.Variablen [ok]
>  >  
> > [mm]\bruch{dx}{dt}=(1+x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>  >  
> > [mm]\integral{\bruch{1}{(1+x)^{\bruch{1}{2}}}dx}=\integral{dt}[/mm]
>  >  
> > [mm]2*(1+x)^{\bruch{1}{2}}=t+C[/mm]
>  >  
> > [mm]\wurzel{1+x}=\bruch{t+C}{2}[/mm]
>  >  
> > [mm]x=(\bruch{t+C}{2})^2-1[/mm]     [ok]
>  >

> > dies ist die allgemeine lösung dieser DGL. [ok]
>  >  
> >
> > x(1)=3:
>  >  
> > [mm]3=(\bruch{1+C}{2})^2-1[/mm]
> > C=3
>
> Frage: [mm]C=-5[/mm] löst doch diese quadratische Gleichung auch,
> wieso kann aber die Funktion [mm]x(t)[/mm] mit [mm]C=-5[/mm] keine Lösung
> sein?
>  
> >
> > [mm]x=(\bruch{t+3}{2})^2-1[/mm]  [ok]
>  >

> > dies ist die spezielle bzw eine spezielle lösung dieser
> > DGL. seh ich das richtig?  
>
> Lösung zum Anfangswert [mm]x(1)=3[/mm]
>  
> bzw. Lösung der (AWA): [mm]x'=(1+x)^{\frac{1}{2}} \ , \ x(1)=3[/mm]
>  
>
> LG
>  
> schachuzipus
>  


C=-5 ergibt keine lösung weil [mm] \wurzel{1+x}=\bruch{t+C}{2} [/mm] auch erfüllt sein muss , aber aus einer wurzel können keine negativen werte entstehten.


also ist das ein anfgangswertproblem. und wann spricht man  von einer spezielen lösung?
Bezug
                        
Bezug
Spezielle Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:45 Fr 29.08.2008
Autor: leduart

Hallo BB
eine spezielle Loesg waere in deinem Fall:x'=0 x=-1.
solche speziellen Loesungen findet man oft schnell, sie haben aber nicht beliebige Anfngsbed.
Am haeufigsten werden sie bei lin. inhomogenen Dgl. benutzt, wo die allg. Loesung die allg. Loesg. der inhomogenen + eine beliebige spezielle Loesung - oft geraten- der inhomogenen Dgl. ist.
Gruss leduart
Bezug
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