Spektralsatz => A unitär? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 09.10.2008 | | Autor: | julian_ |
| Aufgabe | | Man zeige: Ist A [mm] \in [/mm] Mat(n x [mm] n,\IC [/mm] )normal und [mm] A^k=E [/mm] für ein k [mm] \in \IN_{\ge 0}, [/mm] so ist A unitär. |
Es gilt der Spektralsatz da das Polynom von A wegen [mm] \IC [/mm] zerfällt und A normal ist.
Aber weiter bin ich bisher noch nicht gekommen.
Hat vielleicht jemand einen Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Do 09.10.2008 | | Autor: | maddhe |
wofür steht E?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Do 09.10.2008 | | Autor: | Adamantan |
Hallo Maddhe,
E = Einheitsmatrix
@Julian: Wofür wird der Spektralsatz gebraucht?
Gruß
Adamantan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Do 09.10.2008 | | Autor: | julian_ |
richtig E ist Einheitsmatrix
der Spektralsatz sagt in diesem Fall aus, dass es eine orthogonale Matrix T gibt mit [mm] T^{-1}AT=\overline{T}^TAT=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)
[/mm]
, wobei diag(..) die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A beschreibt.
Allerdings kann es sein, dass man den Satz für die Aufgabe gar nicht braucht.
Gruß
Julian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Do 09.10.2008 | | Autor: | Adamantan |
Hallo Julian,
ich denke auch, dass man den nicht braucht. Du solltest lieber in die Richtungen neutrales Element und der Definition vom Kern gehen. Es tut mir leid, aber eine Verbindung zu einer unitären Matrix A bekomme ich im Augenblick auch nicht auf die Reihe, obwohl es eigentlich offensichtlich ist.
Gruß
Adamantan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Do 09.10.2008 | | Autor: | Adamantan |
Hallo,
ich war da gerade eben gedanklich wohl bei Irmchen 
hier noch einmal die Verbesserung:
ich denke auch, dass man den nicht braucht. Du solltest
lieber in die Richtungen Orthogonormalität und Adjungierte gehen. Es tut mir leid, aber eine Verbindung zu einer unitären Matrix A bekomme ich im
Augenblick auch nicht auf die Reihe, obwohl es eigentlich
offensichtlich ist.
Gruß
Adamantan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 09.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Man zeige: Ist A [mm]\in[/mm] Mat(n x [mm]n,\IC[/mm] )normal und [mm]A^k=E[/mm] für
> ein k [mm]\in \IN_{\ge 0},[/mm] so ist A unitär.
> Es gilt der Spektralsatz da das Polynom von A wegen [mm]\IC[/mm]
> zerfällt und A normal ist.
Wende den Spektralsatz doch mal an. Dann erhaelst du eine unitaere Matrix $T$ mit [mm] $T^\ast [/mm] A T = [mm] diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$.
[/mm]
Rechne doch mal [mm] $(T^\ast [/mm] A [mm] T)^k$ [/mm] aus, was kommt heraus?
Was sagt dir das ueber die [mm] $\lambda_i$ [/mm] aus?
Und wann ist eine Matrix der Form $S [mm] \cdot diag(\mu_1, \dots, \mu_n) \cdot S^\ast$ [/mm] unitaer, wenn $S$ eine unitaere Matrix ist ist?
LG Felix
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Hallo Felix,
so ganz erschließt sich mir das nicht.
> Hallo
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> > Man zeige: Ist A [mm]\in[/mm] Mat(n x [mm]n,\IC[/mm] )normal und [mm]A^k=E[/mm] für
> > ein k [mm]\in \IN_{\ge 0},[/mm] so ist A unitär.
> > Es gilt der Spektralsatz da das Polynom von A wegen [mm]\IC[/mm]
> > zerfällt und A normal ist.
>
> Wende den Spektralsatz doch mal an. Dann erhaelst du eine
> unitaere Matrix [mm]T[/mm]
wie erhalte ich denn so eine unitäre Matrix? Wahrscheinlich liegt hier mein Problem
> mit [mm]T^\ast A T = diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)[/mm].
>
> Rechne doch mal [mm](T^\ast A T)^k[/mm] aus, was kommt heraus?
>
> Was sagt dir das ueber die [mm]\lambda_i[/mm] aus?
Nur, dass das die Eigenwerte der Matrix A sind, aber was hilft das das obige zu zeigen. Ich bin völlig verwirrt.
> Und wann ist eine Matrix der Form [mm]S \cdot diag(\mu_1, \dots, \mu_n) \cdot S^\ast[/mm]
> unitaer, wenn [mm]S[/mm] eine unitaere Matrix ist ist?
Gruß
Adamantan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Do 09.10.2008 | | Autor: | julian_ |
bei der aufgabenstellung sollte übrigens [mm] \IN_{>0} [/mm] stehen
[mm] (T^\* AT)^k=diag(\lambda^k_1,....,\lambda^k_n)=E
[/mm]
[mm] =>|\lambda|=1
[/mm]
und eine Matrix der Form
[mm] S^\* [/mm] * [mm] diag(\mu_1, \dots, \mu_n) [/mm] * S ist unitär wenn [mm] |\lambda|=1
[/mm]
theoretisch kann man dann doch sagen
[mm] A^\*A=E*E=E [/mm] =>A unitär
edit:
[mm] A^\*A=\overline{(\overline{S}^TES)}^T(\overline{S}^TES)
[/mm]
[mm] =\overline{S}^TS\overline{S}^TS=EE=E[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mo 13.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Hier eine Lösung ohne Spektralsatz, die noch mehr liefert, nämlich [mm] A^2 [/mm] = E.
Vorbereitung:
Ist S eine symmetrische nxn -Matrix, so gilt (falls nicht bekannt: nachrechnen):
(1) [mm] \IC^n [/mm] = kern(S [mm] )\oplus [/mm] Bild(S).
Aus (1) erhält man für [mm] k\in \IN
[/mm]
[mm] Bild(S^k) [/mm] = [mm] S^k(\IC^n) [/mm] = [mm] S^k(kern(S)) +S^k(Bild(S)) [/mm] = {0}+ [mm] Bild(S^{k+1}).
[/mm]
Es folgt:
(2) Bild(S) = [mm] Bild(S^n).
[/mm]
Sei jetzt also A normal und [mm] A^k [/mm] = E für ein k>0. Wir setzen B: = A*A. Dann ist auch [mm] B^k [/mm] = E.
Ist [mm] \lambda [/mm] ein EW (= Eigenwert) von A (bzw. B) , so ist [mm] \lambda^k [/mm] ein EW von [mm] A^k [/mm] (bzw. [mm] B^k), [/mm] also ist in beiden Fällen [mm] \lambda^k [/mm] = 1.
Da B symmetrisch und positiv-semidefinit ist, folgt: B hat nur den EW [mm] \lambda [/mm] = 1. Das char. Polynom von B ist also =
[mm] (t-1)^n [/mm] .
Der Satz von Cayley -Hamilton liefert nun [mm] (B-E)^n [/mm] = 0. Da B-E symmetrisch ist, folgt aus (2), dass B-E = 0 ist.
FAZIT: A*A = E, A ist also unitär.
Aus [mm] A^k [/mm] = E folgt
(3) [mm] A^{k-1} [/mm] = [mm] A^{k-1}A [/mm] A* = [mm] A^k [/mm] A* = A*
Sei nun [mm] \lambda [/mm] ein EW von A (oben haben wir gesehen, dass [mm] \lambda^k [/mm] = 1 ist, insbesondere ist dann [mm] |\lambda| [/mm] = 1).
Wegen (3) gibt es eine EW [mm] \alpha [/mm] von A mit
(4) [mm] \lambda^{k-1} [/mm] = [mm] \overline{\alpha}. [/mm] Es folgt:
1 = [mm] \lambda^k [/mm] = [mm] \lambda \overline{\alpha}, [/mm] also [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{\overline{\alpha}} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{|\alpha|^2} [/mm] = [mm] \alpha.
[/mm]
Aus (4) folgt dann [mm] \lambda^2 [/mm] = 1. A hat also höchstens die Eigenwerte 1 und -1. Nochmals Cayley - Hamilton liefert
(A-E)(A+E) = 0.
FAZIT: [mm] A^2 [/mm] = E
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Mo 13.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hier eine Lösung ohne Spektralsatz, die noch mehr liefert,
> nämlich [mm]A^2[/mm] = E.
Das glaube ich nicht: jede Diagonalmatrix ist ja normal, insb. auch die $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix $A = (i)$. Jetzt ist [mm] $A^4 [/mm] = E$, womit sich die Aussage auf diese Matrix anwenden laesst.
Allerdings ist [mm] $A^2 [/mm] = -E$, und das ist nicht $E$.
> Vorbereitung:
> Ist S eine symmetrische nxn -Matrix, so gilt (falls nicht
> bekannt: nachrechnen):
Bist Du hier an symmetrischen oder an hermiteschen Matrizen interessiert? Ich denke eher an hermiteschen, oder?
> (1) [mm]\IC^n[/mm] = kern(S [mm])\oplus[/mm] Bild(S).
>
> Aus (1) erhält man für [mm]k\in \IN[/mm]
>
> [mm]Bild(S^k)[/mm] = [mm]S^k(\IC^n)[/mm] = [mm]S^k(kern(S)) +S^k(Bild(S))[/mm] = {0}+
> [mm]Bild(S^{k+1}).[/mm]
>
> Es folgt:
>
> (2) Bild(S) = [mm]Bild(S^n).[/mm]
>
> Sei jetzt also A normal und [mm]A^k[/mm] = E für ein k>0. Wir
> setzen B: = A*A. Dann ist auch [mm]B^k[/mm] = E.
Meinst Du $B = A [mm] \cdot [/mm] A$ oder $B = [mm] A^\ast \cdot [/mm] A$?
> Ist [mm]\lambda[/mm] ein EW (= Eigenwert) von A (bzw. B) , so ist
> [mm]\lambda^k[/mm] ein EW von [mm]A^k[/mm] (bzw. [mm]B^k),[/mm] also ist in beiden
> Fällen [mm]\lambda^k[/mm] = 1.
>
> Da B symmetrisch und positiv-semidefinit ist, folgt: B hat
> nur den EW [mm]\lambda[/mm] = 1. Das char. Polynom von B ist also
> =
Wieso sollte $B$ symmetrisch sein? Wenn $B = [mm] A^\ast \cdot [/mm] A$ ist, dann ist es hermitesch, und wenn $B = A [mm] \cdot [/mm] A$ ist, dann ist $B$ nichtmals das.
Aber nehmen wir mal $B = [mm] A^\ast \cdot [/mm] A$, dann stimmt zumindest die Aussage dass es positiv-semidefinit ist und alle Eigenwerte reell sind, womit alle Eigenwerte 1 sein muessen.
> [mm](t-1)^n[/mm] .
>
> Der Satz von Cayley -Hamilton liefert nun [mm](B-E)^n[/mm] = 0. Da
> B-E symmetrisch ist, folgt aus (2), dass B-E = 0 ist.
>
> FAZIT: A*A = E, A ist also unitär.
Soweit glaube ich das :)
> Aus [mm]A^k[/mm] = E folgt
>
> (3) [mm]A^{k-1}[/mm] = [mm]A^{k-1}A[/mm] A* = [mm]A^k[/mm] A* = A*
>
> Sei nun [mm]\lambda[/mm] ein EW von A (oben haben wir gesehen, dass
> [mm]\lambda^k[/mm] = 1 ist, insbesondere ist dann [mm]|\lambda|[/mm] = 1).
> Wegen (3) gibt es eine EW [mm]\alpha[/mm] von A mit
>
> (4) [mm]\lambda^{k-1}[/mm] = [mm]\overline{\alpha}.[/mm] Es folgt:
>
> 1 = [mm]\lambda^k[/mm] = [mm]\lambda \overline{\alpha},[/mm] also [mm]\lambda[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\overline{\alpha}}[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{|\alpha|^2}[/mm] =
> [mm]\alpha.[/mm]
>
> Aus (4) folgt dann [mm]\lambda^2[/mm] = 1.
Das sehe ich jetzt nicht. Wir wissen, dass [mm] $\lambda^{k-1} [/mm] = [mm] \overline{\lambda}$ [/mm] ist. Warum sollte da [mm] $\lambda^2 [/mm] = 1$ raus folgen?
Etwa fuer $k = 4$ und [mm] $\lambda [/mm] = i$ ist [mm] $\lambda^{4-1} [/mm] = [mm] \lambda^3 [/mm] = -i = [mm] \overline{\lambda}$, [/mm] aber [mm] $\lambda^2 [/mm] = -1 [mm] \neq [/mm] 1$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast recht ! Bei [mm] "A^2 [/mm] = E" habe ich mich vertan.
Im komplexen Fall ist "symmetrisch" : A* = A, also = hermitesch.
Dann ist A*A symmetrisch
FRED
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Spektralsatz
)
