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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Spektraler Radius Ungleichung
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Spektraler Radius Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 So 29.01.2023
Autor: Jellal

Hi zusammen,

kann mir wer sagen, ob die folgende Ungleichung immer wahr ist?

Sei A eine reelle, quadratische Matrix, x ein reeller Spaltenvektor passender Laenge.

Gilt dann [mm] ||Ax||_{2}^{2} [/mm] = [mm] x^{T}A^{T}Ax \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2} [/mm] mit [mm] \rho(B) [/mm] als spektralem Radius von Matrix B?

VG.
Jellal

        
Bezug
Spektraler Radius Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 So 29.01.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ja das gilt, nur fehlt bei dir halt die Begründung…

Gruß,
Gono

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Spektraler Radius Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Di 31.01.2023
Autor: Jellal

Begruendung, hmm ^_^"

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Spektraler Radius Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Mo 30.01.2023
Autor: fred97


> Hi zusammen,
>  
> kann mir wer sagen, ob die folgende Ungleichung immer wahr
> ist?
>  
> Sei A eine reelle, quadratische Matrix, x ein reeller
> Spaltenvektor passender Laenge.
>  
> Gilt dann [mm]||Ax||_{2}^{2}[/mm] = [mm]x^{T}A^{T}Ax \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}[/mm]
> mit [mm]\rho(B)[/mm] als spektralem Radius von Matrix B?
>  
> VG.
>  Jellal

Die Spektralnorm einer quadratischen Matrix $B$ ist def. durch

   [mm] $||B||_2= \max \{ ||Bx||_2: ||x||_2=1\}.$ [/mm]

Ist $B$ symmetrisch , so ist [mm] $||B||_2= \rho(B).$ [/mm]

Ist $A$ wie in Deiner Frage, so ist $B: =A^TA$ symmetrisch.

Kommst Du damit weiter ?


Bezug
                
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Spektraler Radius Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Di 31.01.2023
Autor: Jellal

Hallo Fred,

danke fuer die Antwort!

Noch nicht ganz.
Erst mal habe ich mit deiner Bemerkung
[mm] \rho(A^TA) [/mm] = [mm] ||A^TA||_2 \ge [/mm] || [mm] A^{T}A \bruch{x}{||x||_2} ||_2=\bruch{||A^TAx||_2}{||x||_2}, [/mm] also

[mm] ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_2 [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2} [/mm]

Aber mit welcher Magie wird [mm] ||x||_{2} ||A^TAx||_2 [/mm] = [mm] x^{T}A^{T}Ax [/mm] ?


VG und sorry fuer die spaete Reaktion!

edit: Ah, die Abschaetzung geht weiter.
Man hat fuer zwei Vektoren u und v stets [mm] u^T [/mm] v [mm] \le ||u||_2 ||v||_{2}, [/mm]
also gilt fuer mich [mm] x^{T}A^{T}Ax \le ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}. [/mm]

Korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Spektraler Radius Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mi 01.02.2023
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> danke fuer die Antwort!
>  
> Noch nicht ganz.
>  Erst mal habe ich mit deiner Bemerkung
>  [mm]\rho(A^TA)[/mm] = [mm]||A^TA||_2 \ge[/mm] || [mm]A^{T}A \bruch{x}{||x||_2} ||_2=\bruch{||A^TAx||_2}{||x||_2},[/mm]
> also
>  
> [mm]||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_2[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}[/mm]
>  
> Aber mit welcher Magie wird [mm]||x||_{2} ||A^TAx||_2[/mm] =
> [mm]x^{T}A^{T}Ax[/mm] ?
>  
>
> VG und sorry fuer die spaete Reaktion!
>  
> edit: Ah, die Abschaetzung geht weiter.
>  Man hat fuer zwei Vektoren u und v stets [mm]u^T[/mm] v [mm]\le ||u||_2 ||v||_{2},[/mm]
>  
> also gilt fuer mich [mm]x^{T}A^{T}Ax \le ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}.[/mm]
>  
> Korrekt?  

Korrekt


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Spektraler Radius Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:00 Mi 01.02.2023
Autor: Jellal

Vielen Dank!!

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