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Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage..
man kann ja mit dem Spatprodukt das volumen einer dreiseitigen Pyramide bestimmen
[mm] V=\bruch{1}{6}|(\overrightarrow{a}x\overrightarrow{b})*\overrightarrow{c}|
[/mm]
wie ist es denn für eine vierseitige Pyramide?
Ich habe gefunden, dass es
[mm] V=\bruch{1}{3}|(\overrightarrow{a}x\overrightarrow{b})*\overrightarrow{c}|
[/mm]
heißen muss. Aber dann müsse die grundfläche ein Parallelogramm sein...und für eine allgemein viereckige Fläche soll man das Viereck teilen und wie eine dreiseitige pyramide berechnen...aber wie soll ich das machen? ich verstehe dann nicht, wie ich auf die Vektoren schließen soll ...
muss ich die grundfläche für die berechnung mit dem spatprodukt bei quadratischer Grundfläche auch in zwei Teile teilen?
Grüße, powerranger
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Moin,
> Hallo,
> ich habe eine allgemeine Frage..
> man kann ja mit dem Spatprodukt das volumen einer
> dreiseitigen Pyramide bestimmen
>
> [mm]V=\bruch{1}{6}|(\overrightarrow{a}x\overrightarrow{b})*\overrightarrow{c}|[/mm]
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> wie ist es denn für eine vierseitige Pyramide?
>
> Ich habe gefunden, dass es
>
> [mm]V=\bruch{1}{3}|(\overrightarrow{a}x\overrightarrow{b})*\overrightarrow{c}|[/mm]
>
> heißen muss. Aber dann müsse die grundfläche ein
> Parallelogramm sein...![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und für eine allgemein viereckige
> Fläche soll man das Viereck teilen und wie eine
> dreiseitige pyramide berechnen...aber wie soll ich das
> machen? ich verstehe dann nicht, wie ich auf die Vektoren
> schließen soll ...
Wenn es eine solche Aufgabe gibt, hast du wahrscheinlich Punkte A, B, C, D der Grundfläche gegeben. Dann kannst du den Vektor von 'A nach B' berechnen als [mm] r_b=B-A, [/mm] ebenso den Vektor von 'A nach C' als [mm] r_c=C-A [/mm] und analog [mm] r_d=D-A. [/mm] Das ist die Grundlage für die Zerlegung des Pyramidenvolumens in die Volumina der beiden dreiseitigen Pyramiden mit Grundflächen ABC und ACD.
(Wie du die Zerlegung am Ende machst, ist dir überlassen)
> muss ich die grundfläche für die berechnung mit dem
> spatprodukt bei quadratischer Grundfläche auch in zwei
> Teile teilen?
Nein, musst du nicht: Ein Quadrat ist ein Parallelogramm.
>
>
> Grüße, powerranger
Gruß
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> Wenn es eine solche Aufgabe gibt, hast du wahrscheinlich
> Punkte A, B, C, D der Grundfläche gegeben. Dann kannst du
> den Vektor von 'A nach B' berechnen als [mm]r_b=B-A,[/mm] ebenso den
> Vektor von 'A nach C' als [mm]r_c=C-A[/mm] und analog [mm]r_d=D-A.[/mm] Das
> ist die Grundlage für die Zerlegung des Pyramidenvolumens
> in die Volumina der beiden dreiseitigen Pyramiden mit
> Grundflächen ABC und ACD.
> (Wie du die Zerlegung am Ende machst, ist dir
> überlassen)
Und was ist mit der Spitze? Also ich dachte mir, dass ich jetzt die Grundfläche durch die Diagonale teile. dann gehe ich einmal von der linken unteren Ecke aus und bilde [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AS} [/mm] und damit das Spatprodukt. für die zweite dreiseitige Pyramide gehe ich dann von der oberen rechten ecke aus und bilde [mm] \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CS}...
[/mm]
dann addiere ich die Volumina und habe das Volumen des Dreiecks
richtig?
> Nein, musst du nicht: Ein Quadrat ist ein Parallelogramm.
Also kann ich die Formel
V= [mm] \bruch{1}{3} |(\vec{a}x\vec{b}|*\vec{c}| [/mm] für eine quadratische grundfläche benutzen? für ein rechteck auch?aber nicht für ein beliebiges Viereck?
> >
> > Grüße, powerranger
> Gruß
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> > Wenn es eine solche Aufgabe gibt, hast du wahrscheinlich
> > Punkte A, B, C, D der Grundfläche gegeben. Dann kannst du
> > den Vektor von 'A nach B' berechnen als [mm]r_b=B-A,[/mm] ebenso den
> > Vektor von 'A nach C' als [mm]r_c=C-A[/mm] und analog [mm]r_d=D-A.[/mm] Das
> > ist die Grundlage für die Zerlegung des Pyramidenvolumens
> > in die Volumina der beiden dreiseitigen Pyramiden mit
> > Grundflächen ABC und ACD.
> > (Wie du die Zerlegung am Ende machst, ist dir
> > überlassen)
> Und was ist mit der Spitze? Also ich dachte mir, dass ich
> jetzt die Grundfläche durch die Diagonale teile. dann gehe
> ich einmal von der linken unteren Ecke aus und bilde
> [mm]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AS}[/mm]
> und damit das Spatprodukt. für die zweite dreiseitige
> Pyramide gehe ich dann von der oberen rechten ecke aus und
> bilde [mm]\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CS}...[/mm]
>
> dann addiere ich die Volumina und habe das Volumen des
> Dreiecks richtig?
Das von mir beschriebene Szenario war anderes gedacht. Zerlegung erfolgt auch an der Diagonale, allerdings an der Diagonale AC. Dazu die Vektoren [mm] \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}, \vec{AS} [/mm] berechnen. den Vektor [mm] \vec{AS} [/mm] kannst du so beide Male verwenden. Die beiden Teilpyramiden sind ABCS und ACDS
>
> > Nein, musst du nicht: Ein Quadrat ist ein Parallelogramm.
> Also kann ich die Formel
>
> V= [mm]\bruch{1}{3} |(\vec{a}x\vec{b}|*\vec{c}|[/mm] für eine
> quadratische grundfläche benutzen? für ein rechteck
> auch?aber nicht für ein beliebiges Viereck?
Für alle Parallelogramme (und auch dessen Spezialfälle) darf diese Formel angewendet werden.
> > >
> > > Grüße, powerranger
> > Gruß
>
Gruß
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Dankeschööön!
Jetzt bin ich eine Leuchte bezüglich des Spatproduktes :)
Schönen Tag noch.
MfG
Powerranger
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