Span von M =schnitt von U < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Michi00 |
| Aufgabe | Sei M Teilmenge V des K Vektorraum V und sei
I = {U | M Teilmenge U Teilmenge V und U ist Untervektorraum}
Zeigen sie <M> = Schnitt von U, U e I |
Hallo,
Ich will das zeigen indem ich zeige das jeweils Teilmenge des anderen ist
Die eine Richtung hab ich so gezeigt:
Sei v e U => v e Schnitt von U da M Teilmenge von U
<M> = a1v1 + a2v2 +..., a Element K wegen abgeschlossenheit von Vektorraum Element vom Schnitt von U => <M> Teilmenge von Schnitt von U
Die andere Richtung ist mir völlig unklar
LG Michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Michi00 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich will das zeigen indem ich zeige das jeweils Teilmenge
> des anderen ist
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Gute Idee!
> Die eine Richtung hab ich so gezeigt:
>
> Sei v e U
Welchen Unterraum [mm] $U\in [/mm] I$ meinst du hier?
Naheliegender Anfang für den Nachweis der Teilmengenbeziehung [mm] "$\subseteq$":
[/mm]
"Sei [mm] $v\in$."
[/mm]
> <M> = a1v1 + a2v2 +..., a Element K
Naja. Es gilt
[mm] $=\{a_1v_1+\ldots+a_nv_n\;|\;n\in\IN_0,a_1,\ldots,a_n\in K,v_1,\ldots,v_n\in M\}$.
[/mm]
"Also hat v die Gestalt [mm] $v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n$ [/mm] für gewisse [mm] $a_1,\ldots,a_n\in [/mm] K$ und gewisse [mm] $v_1,\ldots,v_n\in [/mm] M$."
> wegen
> abgeschlossenheit von Vektorraum Element vom Schnitt von U
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
"Für alle Untervektorräume [mm] $U\in [/mm] I$ gilt:
Wegen [mm] $M\subseteq [/mm] U$ sind [mm] $v_1,\ldots,v_n\in [/mm] U$.
Als Untervektorraum von V ist U abgeschlossen unter der Addition und skalaren Multikplikation von V. Also folgt [mm] $v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n\in [/mm] U$.
Also gilt [mm] $v\in\bigcap_{U\in I}U$."
[/mm]
> => <M> Teilmenge von Schnitt von U
> Die andere Richtung ist mir völlig unklar
Zeige: [mm] $\in [/mm] I$.
Dann kannst du folgendermaßen argumentieren:
"Sei [mm] $x\in\bigcap_{U\in I}U$. [/mm] Also [mm] $x\in [/mm] U$ für alle [mm] $U\in [/mm] I$. Wegen [mm] $\in [/mm] I$ insbesondere [mm] $x\in [/mm] <M>$.
Also [mm] $\bigcap_{U\in I}U\subseteq [/mm] <M>$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Michi00 |
Hi,
Vielen Dank für die Antwort hat mir sehr geholfen
Ja da hat ich mich vertan beim abtippen XD
ich meine natürlich am anfang sei v [mm] \in [/mm] M
Hatte das mim Handy abgetippt daher auch diese furchtbare Form :)
Viele Grüße
Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ja da hat ich mich vertan beim abtippen XD
> ich meine natürlich am anfang sei v [mm]\in[/mm] M
> Hatte das mim Handy abgetippt daher auch diese furchtbare
> Form :)
Sicherlich meintest du $<M>$, nicht $M$. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Michi00 |
sollte das nicht egal sein? also ich sage
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] M : v [mm] \in [/mm] U, da M [mm] \subseteq [/mm] U
<M> = [mm] \summe_{a=1}^{n} \lambda_{a}v_{a} [/mm] | [mm] \lambda \in \IK, [/mm] a [mm] \in \IN
[/mm]
Und Vektorräume sind ja in sachen Addition und Skalarmult. abgeschlossen das heißt das <M> [mm] \subseteq [/mm] U
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> sollte das nicht egal sein? also ich sage
Für alle [mm] $U\in [/mm] I$ gilt:
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] M : v [mm]\in[/mm] U, da M [mm]\subseteq[/mm] U
> <M> = [mm]\summe_{a=1}^{n} \lambda_{a}v_{a}[/mm] | [mm]\lambda \in \IK,[/mm]
> a [mm]\in \IN[/mm]
>
> Und Vektorräume sind ja in sachen Addition und Skalarmult.
> abgeschlossen das heißt das <M> [mm]\subseteq[/mm] U
Hier würde ich schreiben: U ist als Vektorraum in Sachen Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen, also [mm] $\subseteq [/mm] U$.
Da [mm] $U\in [/mm] I$ beliebig war, folgt [mm] $\subseteq\bigcap_{U\in I}U$.
[/mm]
Für meinen Geschmack überlässt du etwas viel dem Leser. Mir fehlt die Überlegung, dass speziell die [mm] $v_a$ [/mm] in U liegen und du die Abschlusseigenschaften von U anwendest auf Ausdrücke der Form [mm] $\sum_{a=1}^n\lambda_av_a$. [/mm] Jemand, dem die Argumentation nicht klar ist, könnte wahrscheinlich nicht folgen.
Aber alle wichtigen Argumente hast du genannt und anscheinend hast du die Argumentation verstanden! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Michi00 |
Alles klar :)
noch einmal herzlichen Dank
Michi
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