Spaltenraum invertierb. Matrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 22.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Wenn A eine invertierbare Matrix ist, dann ist C(A) = ..... Warum? |
Guten Abend,
A sei invertierbar:
$A [mm] \cdot{} A^{-1} [/mm] = E | [mm] \cdot{} [/mm] x$
$x A [mm] \cdot{} A^{-1} [/mm] = E [mm] \cdot{} [/mm] x$
$x [mm] \cdot{} [/mm] E = E [mm] \cdot{} [/mm] x$
$x = x$
$C(A) = [mm] \IR^m$
[/mm]
Der Spaltenraum C(A) ist der komplette Raum [mm] \IR^m, [/mm] da die Spalten der Einheitsmatrix: lin unabhängig und kein Nullvektor.
Würde dies stimmen?
Vielen Dank,
itse
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> Wenn A eine invertierbare Matrix ist, dann ist C(A) = .....
> Warum?
> Guten Abend,
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> A sei invertierbar:
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> [mm]A \cdot{} A^{-1} = E | \cdot{} x[/mm]
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> [mm]x A \cdot{} A^{-1} = E \cdot{} x[/mm]
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> [mm]x \cdot{} E = E \cdot{} x[/mm]
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> [mm]x = x[/mm]
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> [mm]C(A) = \IR^m[/mm]
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> Der Spaltenraum C(A) ist der komplette Raum [mm]\IR^m,[/mm] da die
> Spalten der Einheitsmatrix: lin unabhängig und kein
> Nullvektor.
>
>
> Würde dies stimmen?
Hallo,
wenn die mxm-Matrix invertierbar ist, dann ist der von ihren Spalten aufgespannte Raum der komplette [mm] \IR^m, [/mm] das ist richtig.
Was Du mit Deiner "Rechnung" bezeckst, ist mir nicht ganz klar.
Die Aussage, daß aus [mm] AA^{-1}=E [/mm] folgt, daß x=x ist, ist ja auch nicht so reichhaltig...
Ich möchte Dich aber auf einen Fehler in Deiner Rechnung aufmerksam machen:
Du multiplizierst Deine Matrizen mit x. Dieses x muß immer auf derselben Seite heranmultipliziert werden!
(Du kannst ja mal versuchen xE auszurechnen, das ist lehrreich...)
So, nun mal zur Begründung. Leider weiß ich nicht, was Ihr bisher wie besprochen habt.
Wenn die Spalten der Matrix A nicht den ganzen Raum aufspannen, dann gibt es ein [mm] b\in \IR^m, [/mm] für welches Ax=b keine Lösung hat.
Gäbe es nun eine inverse Matrix [mm] A^{-1} [/mm] zu A, so wäre [mm] AA^{-1}b=b, [/mm] und mit [mm] x:=A^{-1}b [/mm] hätte man einen Vektor gefunden, welcher auf b abgebildet wird. Widerspruch.
Gruß v. Angela
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