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Um die Herleitung einer Formel in einem ![[]](/images/popup.gif) Paper (Gleichung 3, Seite 5) nachzuvollziehen habe ich versucht diese nachzurechnen.
Allerdings stosse ich scheinbar kurz vor der Lösung auf folgendes Problem:
Ich müsste [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+m+1)\cdot w^k [/mm] nach [mm] (m+1+\frac{w}{1-w}) [/mm] umformen, um auf das Ergebnis aus dem Paper zu kommen.
Da [mm] 0\le [/mm] w<1 gilt, ist [mm] \sum_{k=1}^{\infty}w^k=\frac{w}{1-w}.
[/mm]
Allerdings trifft diese Formel ja Aufgrund des Faktors (k+m+1) nicht auf die obige Summe zu. Oder handelt es sich um eine Sonderform, einen Spezialfall o.ä.?
Wie kann ich die angegeben Summe umformen um auf das Ergebnis zu kommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank,
Michael
Der Vollständigkeit halber, bzw. um meinem bisherigen Rechenweg darzustellen hier das Ganze im Kontext:
Gegeben ist:
[mm] p(k)=\begin{cases} p(0)\cdot\frac{\rho^{k}}{k!}, & \mbox{für } 0\le k\le m \\ p(0)\cdot\frac{\rho^{k}}{m!\cdot m^{k-m}}, & \mbox{für } k>m \end{cases}
[/mm]
Ferner gilt:
[mm] \rho
Die Gesamtgleichung lautet:
[mm] \mathbb{E}(n) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k\cdot p(k)\\
[/mm]
[mm] =p(0)\cdot\left[\sum_{k=0}^{m}k\cdot\frac{\rho^{k}}{k!} + \frac{m^{m}}{m!}\cdot w^{m+1}\cdot (m+1+\frac{w}{1-w})\right]
[/mm]
Mein bisheriges Vorgehen war wie folgt:
[mm] \mathbb{E}(n) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k\cdot p(k)\\
[/mm]
mit Einsetzen von p(k) ergibt sich:
[mm] =\sum_{k=0}^{m}k\cdot p(0)\cdot\frac{\rho^{k}}{k!} [/mm] + [mm] \sum_{k=m+1}^{\infty}k\cdot p(0)\cdot\frac{\rho^k}{m!\cdot m^{k-m}}\\
[/mm]
p(0) rausziehen, und letzten Bruch mit "1" multiplizieren:
[mm] =p(0)\cdot\left[\sum_{k=0}^{m}k\cdot\frac{\rho^{k}}{k!} + \sum_{k=m+1}^{\infty}k\cdot \frac{\rho^k\cdot m^{m}}{m!\cdot m^{k-m}\cdot m^{m}}\right]\\
[/mm]
[mm] =p(0)\cdot\left[\sum_{k=0}^{m}k\cdot\frac{\rho^{k}}{k!} + \sum_{k=m+1}^{\infty}k\cdot \frac{\rho^k\cdot m^{m}}{m!\cdot m^{k}}\right]\\
[/mm]
da [mm] \frac{m^m}{m!} [/mm] unabhängig von der Summe vor die Summe:
[mm] =p(0)\cdot\left[\sum_{k=0}^{m}k\cdot\frac{\rho^{k}}{k!} + \frac{m^m}{m!}\cdot\sum_{k=m+1}^{\infty}k\cdot \frac{\rho^k}{m^{k}}\right]\\
[/mm]
mit [mm] w=\frac{\rho}{m} [/mm] und Indexverschiebung von k=m+1 zu k=0:
[mm] =p(0)\cdot\left[\sum_{k=0}^{m}k\cdot\frac{\rho^{k}}{k!} + \frac{m^m}{m!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}(k+m+1)\cdot w^{(k+m+1)}\right]\\
[/mm]
[mm] =p(0)\cdot\left[\sum_{k=0}^{m}k\cdot\frac{\rho^{k}}{k!} + \frac{m^m}{m!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}(k+m+1)\cdot w^{k}\cdot w^{(m+1)}\right]\\
[/mm]
[mm] w^{(m+1)} [/mm] vor die Summe, da unabhängig von k:
[mm] =p(0)\cdot\left[\sum_{k=0}^{m}k\cdot\frac{\rho^{k}}{k!} + \frac{m^m}{m!}\cdot w^{(m+1)}\cdot\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty}(k+m+1)\cdot w^{k}}_{Hier komme ich nicht weiter, siehe oben} \right]\\
[/mm]
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Hallo webermichl,
> Um die Herleitung einer Formel in einem
> Paper (Gleichung 3, Seite 5)
> nachzuvollziehen habe ich versucht diese nachzurechnen.
> Allerdings stosse ich scheinbar kurz vor der Lösung auf
> folgendes Problem:
>
> Ich müsste [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+m+1)\cdot w^k[/mm] nach
> [mm](m+1+\frac{w}{1-w})[/mm] umformen, um auf das Ergebnis aus dem
> Paper zu kommen.
> Da [mm]0\le[/mm] w<1 gilt, ist
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}w^k=\frac{w}{1-w}.[/mm]
> Allerdings trifft diese Formel ja Aufgrund des Faktors
> (k+m+1) nicht auf die obige Summe zu. Oder handelt es sich
> um eine Sonderform, einen Spezialfall o.ä.?
> Wie kann ich die angegeben Summe umformen um auf das
> Ergebnis zu kommen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank,
> Michael
Irgendwie ergibt sich das Ergebnis nicht.
Es ist [mm]\sum\limits_{k\ge 0}(k+m+1)w^k=\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)w^k \ \ + \ \ m\cdot{}\sum\limits_{k\ge 0}w^k[/mm]
[mm]=\frac{1}{(1-w)^2}+\frac{m}{1-w}[/mm]
Und das lässt sich nach meiner überschlägigen Schmierrechnung nicht in den Term [mm]m+1+\frac{w}{w-1}[/mm] überführen.
Vllt. habe ich mich aber auch verrechnet, aber die Umformung könnte dir als Anreiz dienen, das mal nachzuprüfen ...
Gruß
schachuzipus
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