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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:17 Do 25.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] regulär. Es sei weiter [mm] D=diag(d_1,...,d_n) [/mm] mit [mm] d_i=(\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|)^{-1}, [/mm] i=1,...,n.
a) Beweisen Sie, dass die Kondition der sog. zeilenäquilibirierten Matrix D*A bzgl. der Zeilensummennorm [mm] ||.||_\infty [/mm] nicht größer wird als die Kondition von A (ebenfalls bzgl. [mm] ||.||_\infty).
[/mm]
b) Berechnen Sie zur Matrix [mm] A=\mat{2 & 1 \\ 7 & 4} [/mm] die Zeilenäquilibirierte D*A und vergleichen Sie die Kondition [mm] cond_\infty. [/mm] |
Für diese Aufgabe fehlt mir eine Idee.
Wer kann mir einen "Fahrplan" für diese Aufgabe geben, d.h. mir die Schritte nennen, die ich abzuarbeiten habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Do 25.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
zu a)
Zu zeigen ist doch:
[mm] cond_\infty(DA) \le cond_\infty(A).
[/mm]
Aus der Vorlesung ist mir bekannt, dass man als Kondition einer Matrix A bzgl. einer bestimmten Matrixnorm [mm] ||.||_p [/mm] folgenden Ausdruck bezeichnet: [mm] cond_p(A)=||A||_p [/mm] * [mm] ||A^{-1}||_p.
[/mm]
Demnach müsste ich hier, da die Zeilensummennorm [mm] ||A||_\infty=max_i \summe_{j=1}^{n}|a_{ij}| [/mm] benutzt werden soll, doch rechnen:
[mm] cond_\infty(DA)=||DA||_\infty*||(DA)^{-1}||_\infty, [/mm] richtig?
Aber dann?!
Ich muss es ja allgemein Beweisen.
Muss man was abschätzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Do 25.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Zu b)
Hier habe ich ein analoges Beispiel bei wikipedia gefunden:
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quilibrierung#Zeilen.C3.A4quilibrierung
Hier würde ich jetzt so rechnen:
[mm] A=\pmat{2 & 1 \\ 7 & 4}, A^{-1}=\pmat{4 & -1 \\ -7 & 2}
[/mm]
Die Matrix D lautet:
[mm] D=\pmat{\bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & \bruch{1}{11}}, D^{-1}=\pmat{3 & 0 \\ 0 & 11}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow cond_\infty(A)=||A||_\infty*||A^{-1}||_\infty=99
[/mm]
[mm] DA=\pmat{\bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & \bruch{1}{11}}*\pmat{2 & 1 \\ 7 & 4}=\pmat{\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{7}{11} & \bruch{4}{11}}
[/mm]
[mm] D^{-1}A^{-1}=...=\pmat{12 & -3 \\ -77 & 22}
[/mm]
[mm] \Rightarrow cond_\infty(DA)=...=99
[/mm]
Also: [mm] cond_\infty(A)=cond_\infty(DA)
[/mm]
[Dies ist meine Lösung des Teils b).]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Do 25.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich merke gerade, dass ich die Reihenfolge vertauscht habe.
Ich muss rechnen [mm] A^{-1}D^{-1}.
[/mm]
Dann komme ich auf [mm] cond_\infty(DA)=43.
[/mm]
Und damit ist die Kondition von DA natürlich deutlich besser.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:14 Do 25.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zu a)
Kann man das so zeigen? |
Ich würde jetzt einfach ausnutzen, dass für Matrixnormen, also auch für die Zeilensummennorm [mm] ||.||_\infty [/mm] die Dreiecksungleichung gilt.
Wenn ich die Teilaufgabe a) korrekt verstanden habe, dann ist doch zu zeigen, dass [mm] cond_\infty(DA) \le cond_\infty(A).
[/mm]
Also beginne ich einfach mal:
[mm] cond_\infty(DA)=||DA||_\infty*||(DA)^{-1}||_\infty=||DA||_\infty*||A^{-1}D^{-1}||_\infty \le ||D||_\infty*||A||_\infty*||A^{-1}||_\infty*||D^{-1}||_\infty=max_i|d_i|*||A||_\infty*||A^{-1}||_\infty*max_i|\bruch{1}{d_i}|
[/mm]
Und gilt nun nicht, dass [mm] max_i|d_i| \le [/mm] 1 und ebenso [mm] max_i|\bruch{1}{d_i} \le [/mm] 1?
Dann würde die Behauptung folgen, denn oben ginge es dann weiter mit
[...] [mm] \le ||A||_\infty*||A^{-1}||_\infty=cond_\infty(A).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:56 Do 25.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Nochmal zur Aufgabe a).
Ich habe eine Lösung gefunden, denke ich.
Liege ich richtig? Ein JA oder NEIN wäre schon hilfreich. |
Behauptung , die in dem Text verpackt ist, ist ja:
[mm] cond_\infty(DA)\le cond_\infty(A).
[/mm]
Beweis:
[mm] ||DA||_\infty=1 [/mm]
[Das würde ich jetzt noch durch explizites Aufschreiben und Anwenden der Zeilensummennorm darstellen, aber hier verzichte ich darauf.]
[mm] \Rightarrow cond_\infty(DA)=||DA||_\infty*||(DA)^{-1}||_\infty=||(DA)^{-1}||_\infty\le ||A^{-1}||_\infty*||D^{-1}||_\infty\le ||A^{-1}||*||A||_\infty=cond_\infty(A) \Box
[/mm]
[An dieser Stelle würde ich auch noch zeigen, dass [mm] ||D^{-1}||_\infty\le ||A||_\infty, [/mm] weil das zum Beispiel mir nicht gleich ersichtlich war. Aber auch darauf verzichte ich hier, denn es geht mir ja nur darum, meine Idee darzustellen.]
PS. Dies ist definitiv meine letzte Frage zu diesem Thema, ich entschuldige mich für das Durcheinander und dass ich immer so viele Fragen parallel stelle.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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