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Skalierter Wiener Prozess: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 27.05.2020
Autor: Jellal

Guten Abend!

Angenommen W(t) sei ein Wiener Prozess und ich kenne die Identitaet [mm] W(at)=\sqrt{a}W(t). [/mm]

Weiß ich damit schon, dass W(t'):=W(at) auch ein Wiener Prozess ist?

Hintergrund ist eine Zeit-Umskalierung in einer SDE.

Mit t'=at wurde dann [mm] dW_{t} [/mm] zu [mm] \bruch{1}{\sqrt{a}}dW_{t'}. [/mm] Ist [mm] dW_{t'} [/mm] nun ein Wiener-Prozess?


Gruß

Jellal

        
Bezug
Skalierter Wiener Prozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Mi 27.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Weiß ich damit schon, dass W(t'):=W(at) auch ein Wiener Prozess ist?

Ich könnte jetzt einfach "Ja" oder "Nein" schreiben, aber das wäre ja nicht zielführend.

Was muss W(t') denn erfüllen, damit es ein Wiener-Prozess ist?
Weise die Eigenschaften nach!

Gruß,
Gono

Bezug
                
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Skalierter Wiener Prozess: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Do 28.05.2020
Autor: Jellal

Hallo Gono,

>  Ich könnte jetzt einfach "Ja" oder "Nein" schreiben, aber
> das wäre ja nicht zielführend.

> Was muss W(t') denn erfüllen, damit es ein Wiener-Prozess
> ist?
>  Weise die Eigenschaften nach!
>  
> Gruß,
>  Gono

(i) Fuer 0 [mm] \le [/mm] t'_{0} < t'_{1} < t'_{2} habe ich, dass Inkremente [mm] W(t'_{1})-W(t'_{0})=\sqrt{a}(W(t_{1})- W(t_{0})) [/mm] und [mm] W(t'_{2})-W(t'_{1})=\sqrt{a}(W(t_{2})- W(t_{1})) [/mm] mit zugehoerigen [mm] 0\le t_{0}
(ii) Ist X [mm] \sim N(\mu, \sigma^{2}), [/mm] so ist aX [mm] \sim N(a\mu, a^{2}\sigma^{2}) [/mm] mit a>0. Ist also [mm] W(t_{1})-W(t_{0}) [/mm] normalverteilt zu Erwartungswert 0 und Varianz [mm] t_{1}-t_{0}, [/mm] so ist [mm] W(t'_{1})-W(t'_{0})=\sqrt{a}(W(t_{1})-W(t_{0})) [/mm] (mit [mm] t'_{i}=at_{i}) [/mm] normalverteilt zu Erwartungswert 0 und Varianz [mm] a(t_{1}-t_{0})=t'_{1}-t'_{0}. [/mm]

(iii) Wenn W(t=0)=0 ist, dann auch W(t'=0)=0, da t=0 [mm] \gdw [/mm] t'=0.
(iv) Fuer festes [mm] \omega [/mm] (ein Ereignis), ist W(t) stetig in t. W(t')=W(at) ist dann auch stetig in t' (sofern t' nicht den erlaubten Definitionsbereich von W(t), also [mm] t\ge0, [/mm] verlaesst, was bei a>0 nicht moeglich ist).

Ok, das war einfacher als gedacht (sofern richtig). Ich wollte mich um das Nachweisen druecken und schauen, ob man auch so argumentieren kann?

vG.

Jellal


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Skalierter Wiener Prozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Do 28.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ok, das war einfacher als gedacht (sofern richtig).

Alles ok…

> Ich wollte mich um das Nachweisen druecken und schauen, ob man auch so argumentieren kann?

Warum drücken? Das hilft dir zu sehen, ob du es auch verstanden hast.


Gruß,
Gono

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Skalierter Wiener Prozess: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Do 28.05.2020
Autor: Jellal

Ja, das stimmt. Nur wenn der Zeitplan diese kleinen zusaetzlichen Uebungen nicht vorsieht, hofft man immer auf einen schnelleren Weg... Aber dies mal war es ja nicht der Rede wert. Den Thread hier zu verfassen, hat mehr Zeit gekostet, als die eigentliche Uebung. Danke dir auf jeden Fall!

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