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Skalarprodukt zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Do 01.11.2012
Autor: Aremo22

Hallo gemeinde,

ich bekomm folgende Aufgabe nicht korrekt raus:

Zeigen Sie, dass durch <x,y> = [mm] x^T [/mm] *A*y mit A = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] ein Skalarprodukt auf R2 gegeben ist.


Also mein Lösungsansatz war das ich einfach 2 Vektoren genommen habe um zu testen. Meine Vektoren waren:  [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm]

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren lautet 7.

Dann habe ich die Transponierte von vektor 1 genommen also ( 2 1) und sie mit der Matrix A und y multipliziert. Komm dabei leider nicht auf 7.

Wo liegt mein Fehler?

mfg

aremo

        
Bezug
Skalarprodukt zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Do 01.11.2012
Autor: M.Rex


> Hallo gemeinde,
>  
> ich bekomm folgende Aufgabe nicht korrekt raus:
>  
> Zeigen Sie, dass durch <x,y> = [mm]x^T[/mm] *A*y mit A = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
> ein Skalarprodukt auf R2 gegeben ist.
>  
>
> Also mein Lösungsansatz war das ich einfach 2 Vektoren
> genommen habe um zu testen. Meine Vektoren waren:  
> [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm]
>  
> Das Skalarprodukt der beiden Vektoren lautet 7.
>  
> Dann habe ich die Transponierte von vektor 1 genommen also
> ( 2 1) und sie mit der Matrix A und y multipliziert. Komm
> dabei leider nicht auf 7.
>  
> Wo liegt mein Fehler?

In der Herangehensweise.

Zeige, dass die Bedingungen des Skalarproduktes erfüllt sind, also:

1. Symmetrisch, also
<x;y>=<y;x>
2. bilinear:
[mm] =\lambda\cdot=<\lambda [/mm] x;y><x,y>
und
<x+y;z>=<x;z>+<y;z>
sowie
<x;y+z>=</x,y><x;y>+<y;z><x,y>

Und die Definitheit
<x;x>=0


> mfg
>  
> aremo

Das ganze musst du allgemein beweisen, mit ein bisschen Vektorrechnung und Matrixmultiplikation kommst du aber zum Ziel.

Marius
</x,y>

Bezug
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