Skalarprodukt von komplexen Za < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 11.05.2006 | | Autor: | homme |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum über den komplexen Zahlen C mit Skalarprodukt < *, * >. Rechen Sie nach, dass hier für alle Vektoren x, y [/mm] [mm] \varepsilon [/mm] [/mm]? V gilt:
< x + y , x - y> = <x, x> -<y, y> -2i * Im(< x, y >) |
Wenn ich dies jetzt zum Beipsiel für die komplexen Zahlen x = 1+2i und y = 1- i versuche nachzurechnen hebt sich bei mir jedes Mal der Imaginärteil auf also 2i - i -2i + i = 0.
Würde mich freuen, wenn mir bitte jemand sagen könnte, was ich hier falsch mache. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei V ein Vektorraum über den komplexen Zahlen C mit
> Skalarprodukt < *, * >. Rechen Sie nach, dass hier für alle
> Vektoren $x, y [mm] \in [/mm] V$ gilt:
> < x + y , x - y> = <x, x> -<y, y> -2i * Im(< x, y >)
>
> Wenn ich dies jetzt zum Beipsiel für die komplexen Zahlen
> x = 1+2i und y = 1- i versuche nachzurechnen hebt sich bei
> mir jedes Mal der Imaginärteil auf also 2i - i -2i + i = 0.
Also bei mir hats geklappt (fuer allgemeine $x, y [mm] \in \IC$). [/mm] Ich habe das Standardskalarprodukt [mm] $\langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] = x [mm] \overline{y}$ [/mm] auf [mm] $\IC$ [/mm] benutzt.
> Würde mich freuen, wenn mir bitte jemand sagen könnte, was
> ich hier falsch mache.
Dazu solltest du mal aufschreiben, was du gerechnet hast. Hellsehen koennen wir schliesslich nicht 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 11.05.2006 | | Autor: | homme |
Hallo Felix,
Danke für die Antowrt, aber leider kan ich ihr nicht so ganz folgen.
Du schreibst du hast das Standardskalarprodukt <x,y> = xy [/mm] [mm] \overline{AB} [/mm] [/mm]? verwendet.
Ich würde gerne wissen, warum du das y [/mm] [mm] \overline{AB} [/mm] [/mm]? konjungierst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für die Antowrt, aber leider kan ich ihr nicht so
> ganz folgen.
> Du schreibst du hast das Standardskalarprodukt <x,y> = [mm] $x\overline{y}$? [/mm] verwendet.
> Ich würde gerne wissen, warum du das [mm] $\overline{y}$? [/mm]
> konjungierst.
Versuch doch bitte das naechste mal lesbare Formeln mit dem Formeleditor zu produzieren. Die Vorschau zu benutzen hilft da sicher.
Das ist so die ganz normale Definition eines (komplexen, hermiteschen) Skalarprodukts auf einem komplexen Vektorraum. Du willst ja schliesslich [mm] $|z|^2 [/mm] = [mm] \langle [/mm] z, z [mm] \rangle$ [/mm] schreiben koennen (gerade hier siehst du, wozu das Konjugieren wichtig ist). Oder noch elementarer, es soll ja [mm] $\langle [/mm] z, z [mm] \rangle \ge [/mm] 0$ sein fuer alle $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
LG Felix
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