Skalarprodukt von Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 14.08.2012 | | Autor: | Artouras |
| Aufgabe | Betrachtet wird ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge 4. Die Innenwinkel betragen 108°. Berechnen sie die Terme
a.) [mm] \vec{a}*\vec{b}
[/mm]
b.) [mm] (\vec{a}+\vec{b})*\vec{d} [/mm] |
Hallo liebe Forumsmitglieder,
da unsere Mathekurse gemischt wurden, habe ich nun ein
Defizit, da wir das Skalarprodukt in meinem ehemaligen Kurs nicht durchgenommen haben. Mir wurde deswegen ans Herz gelegt selbst einige Aufgaben zu rechnen. Nun komme ich bei oben genannter aber nicht weiter.
Ich habe sämtliche Seiten im Mathebuch durchgelesen und auch
das Internet befragt, allerdings habe ich nichts gefunden.
Ich bitte daher um ein Tipp.
Wie komme ich denn auf die Vektoren a-e?
Muss ich die überhaupt konkret benennen?
Das wären so meine ersten Fragen. Vielen Dank für eure Hilfe schonmal.'
Mfg
Artouras
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 14.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Betrachtet wird ein regelmäßiges Fünfeck mit der
> Seitenlänge 4. Die Innenwinkel betragen 108°. Berechnen
> sie die Terme
>
> a.) [mm]\vec{a}*\vec{b}[/mm]
> b.) [mm](\vec{a}+\vec{b})*\vec{d}[/mm]
>
> Hallo liebe Forumsmitglieder,
> da unsere Mathekurse gemischt wurden, habe ich nun ein
> Defizit, da wir das Skalarprodukt in meinem ehemaligen
> Kurs nicht durchgenommen haben. Mir wurde deswegen ans Herz
> gelegt selbst einige Aufgaben zu rechnen. Nun komme ich bei
> oben genannter aber nicht weiter.
> Ich habe sämtliche Seiten im Mathebuch durchgelesen und
> auch
> das Internet befragt, allerdings habe ich nichts
> gefunden.
>
> Ich bitte daher um ein Tipp.
>
> Wie komme ich denn auf die Vektoren a-e?
> Muss ich die überhaupt konkret benennen?
> Das wären so meine ersten Fragen. Vielen Dank für eure
> Hilfe schonmal.'
Hallo,
Wenn man zwei beliebige Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] hat, so ist ihr Skalarprodukt definiert als [mm]\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\angle(\vec{a},\vec{b}))[/mm].
Ich nehme mal an, dass die Vektoren a, b, ... jeweils von A bis B, von B bis C, usw. gehen?
Wenn die Seitenlänge 4 beträgt, dann haben alle diese Vektoren den Betrag 4.
Bitte beachten: Der Winkel zwischen den Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] beträgt NICHT 108°, sondern 72°. (Weißt du, warum?)
Dein erstes Skalarprodukt ist somit 4*4*cos(72°).
Gruß Abakus
>
> Mfg
>
> Artouras
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 14.08.2012 | | Autor: | Artouras |
Ich nehme an, die 72° haben irgendentetwas mit dem Dreieck zu tun, da dies ja insgesamt 180° hat. Und 108°+72° sind ja 180°. Wieso genau das 72° sind weiß ich allerdings nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Di 14.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich nehme an, die 72° haben irgendentetwas mit dem Dreieck
> zu tun, da dies ja insgesamt 180° hat. Und 108°+72° sind
> ja 180°. Wieso genau das 72° sind weiß ich allerdings
> nicht.
Hallo,
in der Formel geht es um den Kosinus des Winkels ZWISCHEN den beiden beteiligten Vektoren. Den Winkel zwischen zwei Vektoren bekommt man NICHT, wenn der zweite Vektorpfeil dort beginnt, wo der erste aufhört.
Beide Vektorpfeile müssen dafür den gleichen Anfangspunkt haben.
Du musst also (beispielsweise) den Vektorpfeil [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] erst einmal so weit (vermutlich nach rechts) verschieben, dass er erst in B beginnt. Dann ist sichtbar, dass der Winkel zwischen beiden Pfeilen nur 72° beträgt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Artouras |
Okay das habe ich nun wiklich verstanden. Das gilt aber auch, wenn der Innenwinkel weniger als 90° betragen hätte oder?
Es ist aber möglich durch einfache Multiplikation im Skalarprodukt 16*cos(72°) zu schreiben oder? Oder ist es notwendig 4*4*cos(72°) zu schreiben um Rückschlüsse auf die Länge der Vektoren zu ziehen?
Ich denke, dann habe ich die a.) soweit schonmal verstanden.
Vielen Dank schonmal für die schnellen Antworten.
Dann widme ich mich mal der b.)
Meinen ersten Ansatz habe ich nun bereits verworfen und habe für das bessere Verständnis meiner Idee mal eine Abbildung angefertigt.
http://www.imagebanana.com/view/wl8yl0fn/Fuenfeck.png
Der Vektor [mm] \vec{a+b} [/mm] in Blau ist ja paralell zum Vektor [mm] \vec{d}, [/mm] somit müsste der Winkel zwischen ihnen 180° betragen oder?
Ich weiß nur nicht genau wie ich das genau zu Papier bringe.
Mein Vorschlag wäre:
[mm] (\vec{a+b})*\vec{d}=8*4*cos(180°) [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 15.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Okay das habe ich nun wiklich verstanden. Das gilt aber
> auch, wenn der Innenwinkel weniger als 90° betragen hätte
> oder?
>
> Es ist aber möglich durch einfache Multiplikation im
> Skalarprodukt 16*cos(72°) zu schreiben oder? Oder ist es
> notwendig 4*4*cos(72°) zu schreiben um Rückschlüsse auf
> die Länge der Vektoren zu ziehen?
Du kannst auch für cos72° noch einen entsprechenden Näherungswert verwenden und erhältst [mm] 16*cos72°$\approx$4,94.
[/mm]
>
> Ich denke, dann habe ich die a.) soweit schonmal
> verstanden.
> Vielen Dank schonmal für die schnellen Antworten.
>
> Dann widme ich mich mal der b.)
> Meinen ersten Ansatz habe ich nun bereits verworfen und
> habe für das bessere Verständnis meiner Idee mal eine
> Abbildung angefertigt.
> http://www.imagebanana.com/view/wl8yl0fn/Fuenfeck.png
> Der Vektor [mm]\vec{a+b}[/mm] in Blau ist ja paralell zum Vektor
> [mm]\vec{d},[/mm] somit müsste der Winkel zwischen ihnen 180°
> betragen oder?
> Ich weiß nur nicht genau wie ich das genau zu Papier
> bringe.
> Mein Vorschlag wäre:
>
> [mm](\vec{a+b})*\vec{d}=8*4*cos(180°)[/mm]
Nein.
Die Vektorsumme [mm]\vec{a}+\vec{b}[/mm] bildet einen Vektorpfeil, der nicht die Länge 8 hat. Der Betrag dieser Vektorsumme lässt sich mit dem Kosinussatz aus den beiden Seitenlängen 4 und dem dazwischen liegenden Winkel von 108° (hier sind es tatsächlich 108°, weil das Dreieck stumpfwinklig ist) berechnen.
Ob du nun den Winkel 0° oder 180° verwenden musst, weiß ich nicht, da deiner Zeichnung die Pfeilspitzen der Vektoren fehlen.
180° stimmt dann, wenn ([mm]\vec{a}+\vec{b}[/mm]) und [mm]\vec{d}[/mm] entgegengesetzt gerichtet sein sollten.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Artouras |
Vielen vielen Dank!!
Meine Rechnung lautet nun:
Länge von [mm] \vec{a+b}:
[/mm]
c²=a²+b²-2ab*cos(108°)
[mm] c²\approx [/mm] 41,89
[mm] c\approx [/mm] 6,47
[mm] (\vec{a+b})*\vec{d}
[/mm]
=6,47*4*cos(180°)
[mm] \approx-25,88
[/mm]
Ich hoffe, dass ich nun fertig bin.
Ein kurzes OK würde mir dann reichen.
Nochmal Danke!
Und ja, die Vektoren sind entgegengesetzt.
|
|
|
| |
|
Hallo, unter der Annahme, die Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet, ist dein Ergebnis ok (sonst rund 25,88) Steffi
|
|
|
|
