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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Es sei [mm] $(v_1,...,v_n) [/mm] $ ein Orthonormalsystem in einem euklidischen/unitären Vektorraum. Beweisen Sie für $v [mm] \in [/mm] V$
[mm] $||v||^2 [/mm] = [mm] \sum^n_{i=1} ||^2 [/mm] + [mm] ||v-\sum^n_{i=1} v_i||^2$ [/mm] |
Hoi.
Ich hab hier wieder einmal die Lösung die wieder mal Fragen aufwirft.
$ || v - [mm] \sum_i v_i||^2$
[/mm]
$ = [mm] v_i [/mm] , v- [mm] \sum_i v_i>$
[/mm]
$= <v,v> - <v, [mm] \sum <\overline{v , v_i} [/mm] > - < [mm] \sum [/mm] < v, [mm] v_i>v_i [/mm] , v>
+ < [mm] \sum_i [/mm] < [mm] v,v_i>v_i,\sumv_j [/mm] >$
[mm] $=||v||^2 [/mm] - [mm] \sum [/mm] < [mm] \overline{v , v_i}> $
[/mm]
$= [mm] ||v||^2 [/mm] - [mm] ||v||^2 [/mm] = 0 $
Ich akzeptiere noch daß da 0 rauskommt. Ich sehe den Zusammenhang aber überhaupt nicht für [mm] \sum^n_{i=1} ||^2 [/mm] + [mm] ||v-\sum^n_{i=1} v_i||^2 [/mm] . Die Umformungen finde ich nachvollziehbar aber mein Problem is daß ich überhaupt nicht sehe, dass die Umformungen einen Sinn haben.
Gruß,
Wehm
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> Es sei [mm](v_1,...,v_n)[/mm] ein Orthonormalsystem in einem
> euklidischen/unitären Vektorraum. Beweisen Sie für [mm]v \in V[/mm]
>
> [mm]||v||^2 = \sum^n_{i=1} ||^2 + ||v-\sum^n_{i=1} v_i||^2[/mm]
>
> Hoi.
> Ich hab hier wieder einmal die Lösung die wieder mal
> Fragen aufwirft.
>
> [mm]|| v - \sum_i v_i||^2[/mm]
>
> [mm]= v_i , v- \sum_i v_i>[/mm]
>
>
> $= <v,v> - <v, [mm]\sum <\overline{v , v_i}[/mm] > - < [mm]\sum[/mm] < v,
> [mm]v_i>v_i[/mm] , v>
> + < [mm]\sum_i[/mm] < [mm]v,v_i>v_i,\sumv_j[/mm] >$
>
>
> [mm]=||v||^2 - \sum < \overline{v , v_i}> [/mm]
>
> [mm]= ||v||^2 - ||v||^2 = 0[/mm]
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> Ich akzeptiere noch daß da 0 rauskommt. Ich sehe den
> Zusammenhang aber überhaupt nicht für [mm]\sum^n_{i=1} ||^2[/mm]
> + [mm]||v-\sum^n_{i=1} v_i||^2[/mm] . Die Umformungen finde
> ich nachvollziehbar aber mein Problem is daß ich überhaupt
> nicht sehe, dass die Umformungen einen Sinn haben.
Grundlegend ist doch, dass für zueinander orthogonale Vektoren, sagen wir $u$ und $v$, gilt: [mm] $\parallel u+v\parallel^2 [/mm] = [mm] \parallel u\parallel^2+\parallel v\parallel^2$ [/mm] ("Pythagoras").
Wenn man also davon ausgeht, dass ja trivialerweise gilt:
[mm]\parallel v\parallel^2 = \left|\left|\sum_{i=1}^nv_i +\Big(v - \sum_{i=1}^n v_i\Big)\right|\right|^2[/mm]
und dass zudem
[mm]\sum_{i=1}^n v_i \perp \Big(v - \sum_{i=1}^n v_i\Big)[/mm]
Dann hast Du nach Anwendung von "Pythagoras" in etwa was behauptet wird, sofern Du zusätzlich berücksichtigst, dass die [mm] $v_i$ [/mm] ein Orthonormalsystem bilden, dass also insbesondere [mm] $\parallel v_i \parallel^2 [/mm] = [mm] ||^2$ [/mm] ist, für alle [mm] $i=1\ldots [/mm] n$, und für [mm] $i\neq [/mm] k$ gilt: [mm] $v_i\perp v_k$ [/mm] (ergo: nochmals $n$-malige Anwendung von "Pythagoras").
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