Skalarprodukt positiv definit? < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Fr 16.10.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Ich muss nachweisen, dass eine Funktion ein Skalarprodukt des [mm] \IR^2 [/mm] ist. Bilinearität und Symmetrie waren kein Problem, aber bei der Eigenschaft "positiv semidefinit" scheiter ich leider an einer Stelle.
Ich habe den Vektor [mm]v = (v_1 , v_2) \in \IR^2[/mm] und muss zeigen, dass diese Gleichung für alle [mm]v_1 , v_2[/mm] erfüllt ist:
[mm]4v_1^2 - 4v_1 v_2 + 3v_2^2 \ge 0[/mm]
Ich bin das mit einer Fallunterscheidung angegangen.
i) [mm]v_1 = v_2 : 4v_1^2 - 4v_1^2 + 3v_1^2 = 3v_1^2 \ge 0[/mm]
ii) [mm]v_1 > v_2 : 4v_1^2 - 4v_1 v_2 + 3v_2^2 > 4v_1^2 - 4v_1^2 + 3v_2^2 = 3v_2^2 \ge 0[/mm]
iii) [mm]v_1 < v_2 : 4v_1^2 - 4v_1 v_2 + 3v_2^2 ... ?[/mm]
Wenn ich beim dritten Fall analog zu ii) abschätze scheitert das leider, weil das zu grob ist.
Hat vielleicht jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Fr 16.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Form mal etwas um:
$$ [mm] 4v_{1}^{2}-4v_{1}v_{2}+3v_{2}^{2} [/mm] $$
$$ [mm] =\green{4v_{1}^{2}-4v_{1}v_{2}+v_{2}^{2}}+2v_{2}^{2} [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{\text{bin.Form.}}{=}\green{(2v_{1}-v_{2})^{2}}+2v_{2}^{2} [/mm] $$
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Fr 16.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Manchmal sieht man solche Sachen einfach nicht. Aber das war ein Standardtrick bei unseren Übungszetteln, von daher war das bei mir ne "Standardüberlegung"
Marius
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