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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Skalarprodukt Ungleichung
Skalarprodukt Ungleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Skalarprodukt Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mi 04.01.2012
Autor: Denny22

Aufgabe
Sei [mm] $A\in\IC^{N,N}$ [/mm] positiv definit, d.h.
     [mm] $\exists\,\beta_A>0:\;\mathrm{Re}\left\langle u,Au\right\rangle_{\IC^N}\geqslant 2\beta_A\left|u\right|^2_{\IC^N}\;\forall\,u\in\IC^N$ [/mm]
wobei
     [mm] $\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N}:=\overline{u}^T [/mm] w$
Zeige (insofern dies moeglich ist)
     [mm] $\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N} \geqslant 2\beta_A \left|u\right|^2_{\IC^N} \left|w\right|^2_{\IC^N}$ [/mm]

Hallo an alle,

ich benoetige fuer den folgenden Ausdruck
     [mm] $\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N}$ [/mm]
eigentlich nur eine untere Schranke. Es waere jedoch hilfreich, wenn sie etwa wie in der Aufgabenstellung (d.h. mit den Quadrattermen) aussaehe. Leider bin ich etwas ratlos, wie ich hier rangehen soll. Ich habe schon an den Kosinussatz u.s.w. gedacht, aber irgenwie klappt es nicht.

Vielen Dank

        
Bezug
Skalarprodukt Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Mi 04.01.2012
Autor: fred97

Verwende die Polarisationsgleichung

http://books.google.de/books?id=qX2cI5zRQNoC&pg=PA350&lpg=PA350&dq=Polarisationsgleichung&source=bl&ots=soq8plS3e_&sig=LYWMydRQnfjlskRujmyf5ghx4n0&hl=de&sa=X&ei=AzsET5qBK9WtsgaMpJzwDw&ved=0CDgQ6AEwBA#v=onepage&q=Polarisationsgleichung&f=false

FRED

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Mi 04.01.2012
Autor: Denny22

Hallo Fred,

vielen dank fuer den Tipp, aber inwiefern hilf mir diese Gleichung weiter? Und wie laesst sich dabei die positive Definitheit von $A$ ausnutzen?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mi 04.01.2012
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> vielen dank fuer den Tipp, aber inwiefern hilf mir diese
> Gleichung weiter? Und wie laesst sich dabei die positive
> Definitheit von [mm]A[/mm] ausnutzen?


Mit diese Gleichung kannst Du die hermitesche Form <Aw,u> durch die quadratische Form <Au,u>  ausdrücken

FRED

Bezug
                                
Bezug
Skalarprodukt Ungleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:15 Mi 04.01.2012
Autor: Denny22


> Mit diese Gleichung kannst Du die hermitesche Form <Aw,u>
> durch die quadratische Form <Au,u>  ausdrücken

Sorry, aber leider sehe ich das noch nicht: Ich erhalte aus der Polarisationsgleichung

     $4 [mm] \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N} [/mm] = [mm] \left\|w+Au\right\|^2 [/mm] - [mm] \left\|w-Au\right\|^2 [/mm] = [mm] 2\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N} [/mm] + [mm] 2\left\langle Au,w\right\rangle_{\IC^N}$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt Ungleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 06.01.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Skalarprodukt Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Mi 04.01.2012
Autor: MatthiasKr

Hallo,

> Sei [mm]A\in\IC^{N,N}[/mm] positiv definit, d.h.
>       [mm]\exists\,\beta_A>0:\;\mathrm{Re}\left\langle u,Au\right\rangle_{\IC^N}\geqslant 2\beta_A\left|u\right|^2_{\IC^N}\;\forall\,u\in\IC^N[/mm]
>  
> wobei
>       [mm]\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N}:=\overline{u}^T w[/mm]
>  
> Zeige (insofern dies moeglich ist)
>       [mm]\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N} \geqslant 2\beta_A \left|u\right|^2_{\IC^N} \left|w\right|^2_{\IC^N}[/mm]
>  
> Hallo an alle,
>  
> ich benoetige fuer den folgenden Ausdruck
>       [mm]\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N}[/mm]
>  
> eigentlich nur eine untere Schranke. Es waere jedoch
> hilfreich, wenn sie etwa wie in der Aufgabenstellung (d.h.
> mit den Quadrattermen) aussaehe. Leider bin ich etwas
> ratlos, wie ich hier rangehen soll. Ich habe schon an den
> Kosinussatz u.s.w. gedacht, aber irgenwie klappt es nicht.
>  
> Vielen Dank


ich bezweifele, dass es solch eine konstante gibt (zumindest keine positive).  wählt man nämlich $u$ und $w$ orthogonal, ist die linke seite gleich null und die rechte kann beliebig gross werden.

ich lasse mich gerne belehren, wenn ich etwas falsch verstanden habe... ;-)

gruss
matthias

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt Ungleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:02 Mi 04.01.2012
Autor: Denny22


> ich bezweifele, dass es solch eine konstante gibt
> (zumindest keine positive).  wählt man nämlich [mm]u[/mm] und [mm]w[/mm]
> orthogonal, ist die linke seite gleich null und die rechte
> kann beliebig gross werden.

Das stimmt natuerlich.

> ich lasse mich gerne belehren, wenn ich etwas falsch
> verstanden habe... ;-)
>  
> gruss
>  matthias

Normalerweise steht noch ein Minuszeichen vor dem Ausdruck, d.h. mein eigentliches Ziel ist eine Abschaetzung fuer

[mm] $-\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N}\leqslant$ [/mm]  irgendetwas

fuer alle [mm] $u,w\in\C^N$. [/mm] Daher habe ich versucht, dass Produkt (ohne dem Minus) nach unten abzuschaetzen. Laesst sich hierfuer ein Ausdruck finden?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt Ungleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 06.01.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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