Skalarprodukt, Teilmenge < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf dem reellen Vektorraum V := [mm] C^{0}([0,1]) [/mm] aller stetigen Funktionen auf [0,1] ist durch < f | g > (Skalarprodukt von f und g) := [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] ein Skalarprodukt definiert. Sei h: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] 3x .
(a) Bestimmen Sie die Teilmenge P [mm] \subseteq [/mm] V der Polynome f von Grad [mm] \le [/mm] 2 (mit reellen Koeffizienten), für welche < f | h > = 0 ist. Ist P ein Untervektorraum von V?
(b) Sei Q [mm] \subseteq [/mm] V die Teilmenge der Polynome f von Grad [mm] \le [/mm] 3, die < f - h | f - h > = 3 erfüllen. Ist Q ein Untervektorraum von V?
(c) Sei R := {f [mm] \in [/mm] V | f ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) = 0 }. Ist R ein Untervektorraum von V? |
Hallo alle zusammen,
diesmal habe ich zwar etwas Vorwissen, aber trotzdem noch Probleme mit den Aufgaben.
zu (a) wenn gelten soll < f | h > = 0 so muss auch gelten 0 = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}
[/mm]
und h eingesetzt < f | 3x >
Ein Untervektorraum ist es, wenn gilt:
- mit p, v [mm] \in [/mm] P liegt auch p + v in P
- mit p [mm] \in [/mm] P liegt für alle s [mm] \in \IK [/mm] auch s * p in P
- 0 [mm] \in [/mm] P.
und ein Polynom ist
f(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] als Grad
leider verstehe ich hier den Zusammenhang nicht.
zu (b)
es gilt beinahe alles oben aufgelistete ebenfalls, nur dass diesmal beim Skalarprodukt auf beiden Seiten das Selbe steht, und ich weiß dass < f-h | f-h|= 0 wenn f-h=0, somit müsste eigentlich f-h=1,5 sein
zu (c)
keine Ahnung
Danke sehr im Voraus
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> Auf dem reellen Vektorraum V := [mm]C^{0}([0,1])[/mm] aller stetigen
> Funktionen auf [0,1] ist durch < f | g > (Skalarprodukt von
> f und g) := [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm] ein
> Skalarprodukt definiert.
> Sei h: [0,1] [mm]\to \IR[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm]
> 3x .
>
> (a) Bestimmen Sie die Teilmenge P [mm]\subseteq[/mm] V der Polynome
> f von Grad [mm]\le[/mm] 2 (mit reellen Koeffizienten), für welche <
> f | h > = 0 ist. Ist P ein Untervektorraum von V?
>
> (b) Sei Q [mm]\subseteq[/mm] V die Teilmenge der Polynome f von Grad
> [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3, die < f - h | f - h > = 3 erfüllen. Ist Q ein
> Untervektorraum von V?
>
> (c) Sei R := {f [mm]\in[/mm] V | f ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) = 0 }. Ist R ein
> Untervektorraum von V?
> Hallo alle zusammen,
>
> diesmal habe ich zwar etwas Vorwissen, aber trotzdem noch
> Probleme mit den Aufgaben.
>
> zu (a) wenn gelten soll < f | h > = 0 so muss auch gelten 0
> = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm]
>
> und h eingesetzt < f | 3x >
Hallo,
es muß gelten [mm] 0==\integral_{0}^{1}{f(x)*3x dx}.
[/mm]
f soll ein Polynom vom Höchstgrad 2 sein, also [mm] f(x)=ax^2+bx+c.
[/mm]
Nun rechne doch mal [mm] =\integral_{0}^{1}{f(x)*3x dx} [/mm] aus, und schau unter elchen Bedingungen es =0 ist.
Dann weißt Du, wie die Polynome gemacht sind, die in P sind.
Danach kann es weitergehen mit dem Prüfen der UVR-Kriterien:
> Ein Untervektorraum ist es, wenn gilt:
> - mit p, v [mm]\in[/mm] P liegt auch p + v in P
> - mit p [mm]\in[/mm] P liegt für alle s [mm]\in \IK[/mm] auch s * p in P
> - 0 [mm]\in[/mm] P.
Der Rest hat Zeit bis später. Fang erstmal mit a) an.
LG Angela
>
> und ein Polynom ist
>
> f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] als Grad
>
> leider verstehe ich hier den Zusammenhang nicht.
>
> zu (b)
> es gilt beinahe alles oben aufgelistete ebenfalls, nur dass
> diesmal beim Skalarprodukt auf beiden Seiten das Selbe
> steht, und ich weiß dass < f-h | f-h|= 0 wenn f-h=0, somit
> müsste eigentlich f-h=1,5 sein
>
> zu (c)
>
> keine Ahnung
>
> Danke sehr im Voraus
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> > Auf dem reellen Vektorraum V := [mm]C^{0}([0,1])[/mm] aller
> stetigen
> > Funktionen auf [0,1] ist durch < f | g > (Skalarprodukt
> von
> > f und g) := [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm] ein
> > Skalarprodukt definiert.
>
> > Sei h: [0,1] [mm]\to \IR[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm]
> > 3x .
> >
> > (a) Bestimmen Sie die Teilmenge P [mm]\subseteq[/mm] V der
> Polynome
> > f von Grad [mm]\le[/mm] 2 (mit reellen Koeffizienten), für
> welche <
> > f | h > = 0 ist. Ist P ein Untervektorraum von V?
> >
> > (b) Sei Q [mm]\subseteq[/mm] V die Teilmenge der Polynome f von
> Grad
> > [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> 3, die < f - h | f - h > = 3 erfüllen. Ist Q ein
> > Untervektorraum von V?
> >
> > (c) Sei R := {f [mm]\in[/mm] V | f ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> ) = 0 }. Ist R ein
> > Untervektorraum von V?
> > Hallo alle zusammen,
> >
> > diesmal habe ich zwar etwas Vorwissen, aber trotzdem
> noch
> > Probleme mit den Aufgaben.
> >
> > zu (a) wenn gelten soll < f | h > = 0 so muss auch
> gelten 0
> > = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm]
> >
> > und h eingesetzt < f | 3x >
>
> Hallo,
>
> es muß gelten [mm]0==\integral_{0}^{1}{f(x)*3x dx}.[/mm]
>
> f soll ein Polynom vom Höchstgrad 2 sein, also
> [mm]f(x)=ax^2+bx+c.[/mm]
>
> Nun rechne doch mal [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)*3x dx}[/mm]
> aus, und schau unter elchen Bedingungen es =0 ist.
>
> Dann weißt Du, wie die Polynome gemacht sind, die in P
> sind.
Hallo,
soll ich nun die Integration per Hand ausführen? dazu hätte ich eine Frage, muss ich [mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] UND 3x aufleiten und dann integrieren oder bleibt 3x in der Form stehen?
> Danach kann es weitergehen mit dem Prüfen der
> UVR-Kriterien:
>
> > Ein Untervektorraum ist es, wenn gilt:
> > - mit p, v [mm]\in[/mm] P liegt auch p + v in P
> > - mit p [mm]\in[/mm] P liegt für alle s [mm]\in \IK[/mm] auch s * p in P
> > - 0 [mm]\in[/mm] P.
>
> Der Rest hat Zeit bis später. Fang erstmal mit a) an.
>
> LG Angela
>
> >
> > und ein Polynom ist
> >
> > f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] als
> Grad
> >
> > leider verstehe ich hier den Zusammenhang nicht.
> >
> > zu (b)
> > es gilt beinahe alles oben aufgelistete ebenfalls, nur
> dass
> > diesmal beim Skalarprodukt auf beiden Seiten das Selbe
> > steht, und ich weiß dass < f-h | f-h|= 0 wenn f-h=0,
> somit
> > müsste eigentlich f-h=1,5 sein
> >
> > zu (c)
> >
> > keine Ahnung
> >
> > Danke sehr im Voraus
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> > Hallo,
> >
> > es muß gelten [mm]0==\integral_{0}^{1}{f(x)*3x dx}.[/mm]
> >
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> > f soll ein Polynom vom Höchstgrad 2 sein, also
> > [mm]f(x)=ax^2+bx+c.[/mm]
> >
> > Nun rechne doch mal [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)*3x dx}[/mm]
> > aus, und schau unter elchen Bedingungen es =0 ist.
> >
> > Dann weißt Du, wie die Polynome gemacht sind, die in P
> > sind.
>
> Hallo,
>
> soll ich nun die Integration per Hand ausführen?
Hallo,
wie denn sonst?
> dazu
> hätte ich eine Frage, muss ich [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm] UND 3x
> aufleiten und dann integrieren oder bleibt 3x in der Form
> stehen?
Aufleiten tun wir gar nicht. Wir suchen eine Stammfunktion.
Natürlich mußt Du die beiden Funktionen erstmal multiplizieren. Dann eine Stammfunktion suchen, und danach dann weiter.
LG Angela
>
>
> > Danach kann es weitergehen mit dem Prüfen der
> > UVR-Kriterien:
> >
> > > Ein Untervektorraum ist es, wenn gilt:
> > > - mit p, v [mm]\in[/mm] P liegt auch p + v in P
> > > - mit p [mm]\in[/mm] P liegt für alle s [mm]\in \IK[/mm] auch s * p in
> P
> > > - 0 [mm]\in[/mm] P.
> >
> > Der Rest hat Zeit bis später. Fang erstmal mit a) an.
> >
> > LG Angela
> >
> > >
> > > und ein Polynom ist
> > >
> > > f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] als
> > Grad
> > >
> > > leider verstehe ich hier den Zusammenhang nicht.
> > >
> > > zu (b)
> > > es gilt beinahe alles oben aufgelistete ebenfalls,
> nur
> > dass
> > > diesmal beim Skalarprodukt auf beiden Seiten das
> Selbe
> > > steht, und ich weiß dass < f-h | f-h|= 0 wenn f-h=0,
> > somit
> > > müsste eigentlich f-h=1,5 sein
> > >
> > > zu (c)
> > >
> > > keine Ahnung
> > >
> > > Danke sehr im Voraus
>
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> > > Hallo,
> > >
> > > es muß gelten [mm]0==\integral_{0}^{1}{f(x)*3x dx}.[/mm]
>
> > >
> >
> > > f soll ein Polynom vom Höchstgrad 2 sein, also
> > > [mm]f(x)=ax^2+bx+c.[/mm]
> > >
> > > Nun rechne doch mal [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)*3x dx}[/mm]
>
> > > aus, und schau unter elchen Bedingungen es =0 ist.
> > >
> > > Dann weißt Du, wie die Polynome gemacht sind, die in
> P
> > > sind.
> >
> > Hallo,
> >
> > soll ich nun die Integration per Hand ausführen?
>
> Hallo,
>
> wie denn sonst?
>
> > dazu
> > hätte ich eine Frage, muss ich [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm] UND 3x
> > aufleiten und dann integrieren oder bleibt 3x in der
> Form
> > stehen?
>
> Aufleiten tun wir gar nicht. Wir suchen eine
> Stammfunktion.
verzeihung ich dachte das wäre das selbe
> Natürlich mußt Du die beiden Funktionen erstmal
> multiplizieren. Dann eine Stammfunktion suchen, und danach
> dann weiter.
also meine rechnung:
nennen wir die neue funktion einfach k(x)
k(x) = [mm] (ax^2+bx+c)3x [/mm] = [mm] 3ax^{3}+3bx^{2}+3cx
[/mm]
Stammfunktion K(x) = [mm] \bruch{3}{4} ax^{4} [/mm] + [mm] bx^{3} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}cx^{2}+d
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x)\cdot{}3x dx}
[/mm]
= K(1) - K(0)
= ( [mm] \bruch{3}{4} [/mm] a + b + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] c + d) - d
= [mm] \bruch{3}{4} [/mm] a + b + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] c
dieser Therm ist für a=b=c=0 ebenfalls 0, aber für welche werte noch, weiß ich nicht
> LG Angela
>
> >
> >
> > > Danach kann es weitergehen mit dem Prüfen der
> > > UVR-Kriterien:
> > >
> > > > Ein Untervektorraum ist es, wenn gilt:
> > > > - mit p, v [mm]\in[/mm] P liegt auch p + v in P
> > > > - mit p [mm]\in[/mm] P liegt für alle s [mm]\in \IK[/mm] auch s * p
> in
> > P
> > > > - 0 [mm]\in[/mm] P.
> > >
> > > Der Rest hat Zeit bis später. Fang erstmal mit a)
> an.
> > >
> > > LG Angela
> > >
> > > >
> > > > und ein Polynom ist
> > > >
> > > > f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
> als
> > > Grad
> > > >
> > > > leider verstehe ich hier den Zusammenhang nicht.
> > > >
> > > > zu (b)
> > > > es gilt beinahe alles oben aufgelistete ebenfalls,
> > nur
> > > dass
> > > > diesmal beim Skalarprodukt auf beiden Seiten das
> > Selbe
> > > > steht, und ich weiß dass < f-h | f-h|= 0 wenn
> f-h=0,
> > > somit
> > > > müsste eigentlich f-h=1,5 sein
> > > >
> > > > zu (c)
> > > >
> > > > keine Ahnung
> > > >
> > > > Danke sehr im Voraus
> >
Danke sehr im Voraus
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Hallo,
> > Aufleiten tun wir gar nicht. Wir suchen eine
> > Stammfunktion.
>
> verzeihung ich dachte das wäre das selbe
aufgepaßt:
"aufleiten" ist ein recht neues Wort.
Manche halten es für ein unsinniges Wort,
manche meinen, das Wort gibt es gar nicht.
Du wirst weniger Konflikte haben, wenn Du stattdessen sagst, daß Du die Stammfuntion suchst oder integrierst.
>
> > Natürlich mußt Du die beiden Funktionen erstmal
> > multiplizieren. Dann eine Stammfunktion suchen, und danach
> > dann weiter.
>
> also meine rechnung:
>
> nennen wir die neue funktion einfach k(x)
>
> k(x) = [mm](ax^2+bx+c)3x[/mm] = [mm]3ax^{3}+3bx^{2}+3cx[/mm]
>
> Stammfunktion K(x) = [mm]\bruch{3}{4} ax^{4}[/mm] + [mm]bx^{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{2}cx^{2}+d[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)\cdot{}3x dx}[/mm]
> = K(1) - K(0)
> = ( [mm]\bruch{3}{4}[/mm] a + b + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c + d) - d
> = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] a + b + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c
>
> dieser Therm ist für a=b=c=0 ebenfalls 0, aber für welche
> werte noch, weiß ich nicht
Er ist gleich 0, wenn Du a,b,c so wählst, daß
[mm]\bruch{3}{4}[/mm] a + b + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c=0.
<==> b=[mm]-\bruch{3}{4}[/mm] a - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c
Also haben die Funktionen in P die Gestalt
[mm] k(x)=ax^2+([/mm] [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] a - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c)x+c
[mm] =a(x^2-\bruch{3}{4}x)+c(-\bruch{3}{2}+1) [/mm] mit [mm] a,c\in \IR.
[/mm]
Also ist
[mm] P=\{a(x^2-\bruch{3}{4}x)+c(-\bruch{3}{2}+1) | a,c\in \IR\}.
[/mm]
Du hast selbst schon bemerkt, daß das Nullpolynom in P ist,
nun prüfe die anderen Kriterien.
Wenn Du das mit Erfolg getan hast, können wir auch noch einen anderen Weg besprechen, bei dem Du das Integral gar nicht berechnen mußt.
LG Angela
>
>
> > LG Angela
> >
> > >
> > >
> > > > Danach kann es weitergehen mit dem Prüfen der
> > > > UVR-Kriterien:
> > > >
> > > > > Ein Untervektorraum ist es, wenn gilt:
> > > > > - mit p, v [mm]\in[/mm] P liegt auch p + v in P
> > > > > - mit p [mm]\in[/mm] P liegt für alle s [mm]\in \IK[/mm] auch s *
> p
> > in
> > > P
> > > > > - 0 [mm]\in[/mm] P.
> > > >
> > > > Der Rest hat Zeit bis später. Fang erstmal mit a)
> > an.
> > > >
> > > > LG Angela
> > > >
> > > > >
> > > > > und ein Polynom ist
> > > > >
> > > > > f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
> > als
> > > > Grad
> > > > >
> > > > > leider verstehe ich hier den Zusammenhang nicht.
> > > > >
> > > > > zu (b)
> > > > > es gilt beinahe alles oben aufgelistete
> ebenfalls,
> > > nur
> > > > dass
> > > > > diesmal beim Skalarprodukt auf beiden Seiten das
> > > Selbe
> > > > > steht, und ich weiß dass < f-h | f-h|= 0 wenn
> > f-h=0,
> > > > somit
> > > > > müsste eigentlich f-h=1,5 sein
> > > > >
> > > > > zu (c)
> > > > >
> > > > > keine Ahnung
> > > > >
> > > > > Danke sehr im Voraus
> > >
> Danke sehr im Voraus
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> Hallo,
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> > > Aufleiten tun wir gar nicht. Wir suchen eine
> > > Stammfunktion.
> >
> > verzeihung ich dachte das wäre das selbe
>
> aufgepaßt:
> "aufleiten" ist ein recht neues Wort.
> Manche halten es für ein unsinniges Wort,
> manche meinen, das Wort gibt es gar nicht.
>
> Du wirst weniger Konflikte haben, wenn Du stattdessen
> sagst, daß Du die Stammfuntion suchst oder integrierst.
>
>
> >
> > > Natürlich mußt Du die beiden Funktionen erstmal
> > > multiplizieren. Dann eine Stammfunktion suchen, und
> danach
> > > dann weiter.
> >
> > also meine rechnung:
> >
> > nennen wir die neue funktion einfach k(x)
> >
> > k(x) = [mm](ax^2+bx+c)3x[/mm] = [mm]3ax^{3}+3bx^{2}+3cx[/mm]
> >
> > Stammfunktion K(x) = [mm]\bruch{3}{4} ax^{4}[/mm] + [mm]bx^{3}[/mm] +
> > [mm]\bruch{3}{2}cx^{2}+d[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)\cdot{}3x dx}[/mm]
> > = K(1) - K(0)
> > = ( [mm]\bruch{3}{4}[/mm] a + b + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c + d) - d
> > = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] a + b + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c
> >
> > dieser Therm ist für a=b=c=0 ebenfalls 0, aber für
> welche
> > werte noch, weiß ich nicht
>
> Er ist gleich 0, wenn Du a,b,c so wählst, daß
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm] a + b + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c=0.
>
> <==> b=[mm]-\bruch{3}{4}[/mm] a - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c
>
>
> Also haben die Funktionen in P die Gestalt
>
> [mm]k(x)=ax^2+([/mm] [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] a - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c)x+c
> [mm]=a(x^2-\bruch{3}{4}x)+c(-\bruch{3}{2}+1)[/mm] mit [mm]a,c\in \IR.[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]P=\{a(x^2-\bruch{3}{4}x)+c(-\bruch{3}{2}+1) | a,c\in \IR\}.[/mm]
>
> Du hast selbst schon bemerkt, daß das Nullpolynom in P
> ist,
Woran habe ich das gemerkt? Weil ich das vorausgesetzt habe?
> nun prüfe die anderen Kriterien.
Da bin ich leider überfordert weis nicht wie ich da rangehen soll
>
> Wenn Du das mit Erfolg getan hast, können wir auch noch
> einen anderen Weg besprechen, bei dem Du das Integral gar
> nicht berechnen mußt.
>
> LG Angela
>
>
>
>
>
> >
> >
> > > LG Angela
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > Danach kann es weitergehen mit dem Prüfen der
> > > > > UVR-Kriterien:
> > > > >
> > > > > > Ein Untervektorraum ist es, wenn gilt:
> > > > > > - mit p, v [mm]\in[/mm] P liegt auch p + v in P
> > > > > > - mit p [mm]\in[/mm] P liegt für alle s [mm]\in \IK[/mm] auch s
> *
> > p
> > > in
> > > > P
> > > > > > - 0 [mm]\in[/mm] P.
> > > > >
> > > > > Der Rest hat Zeit bis später. Fang erstmal mit
> a)
> > > an.
> > > > >
> > > > > LG Angela
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > und ein Polynom ist
> > > > > >
> > > > > > f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
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> > > als
> > > > > Grad
> > > > > >
> > > > > > leider verstehe ich hier den Zusammenhang
> nicht.
> > > > > >
> > > > > > zu (b)
> > > > > > es gilt beinahe alles oben aufgelistete
> > ebenfalls,
> > > > nur
> > > > > dass
> > > > > > diesmal beim Skalarprodukt auf beiden Seiten
> das
> > > > Selbe
> > > > > > steht, und ich weiß dass < f-h | f-h|= 0 wenn
> > > f-h=0,
> > > > > somit
> > > > > > müsste eigentlich f-h=1,5 sein
> > > > > >
> > > > > > zu (c)
> > > > > >
> > > > > > keine Ahnung
> > > > > >
> > > > > > Danke sehr im Voraus
> > > >
> > Danke sehr im Voraus
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> > Also haben die Funktionen in P die Gestalt
> >
> > [mm]k(x)=ax^2+([/mm] [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] a - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] c)x+c
> > [mm]=a(x^2-\bruch{3}{4}x)+c(-\bruch{3}{2}+1)[/mm] mit [mm]a,c\in \IR.[/mm]
>
> >
> > Also ist
> >
> > [mm]P=\{a(x^2-\bruch{3}{4}x)+c(-\bruch{3}{2}+1) | a,c\in \IR\}.[/mm]
>
> >
> > Du hast selbst schon bemerkt, daß das Nullpolynom in P
> > ist,
>
> Woran habe ich das gemerkt?
Hallo,
ich dachte, Du hättest das irgendo geschrieben.
Es ist doch das Polynom [mm] n(x):=0*(x^2-\bruch{3}{4}x)+0*(-\bruch{3}{2}+1) [/mm] in P.
> Weil ich das vorausgesetzt
> habe?
>
> > nun prüfe die anderen Kriterien.
>
> Da bin ich leider überfordert weis nicht wie ich da
> rangehen soll
Du mußt zeigen, daß für zwei Polynome [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] aus P auch [mm] p_1+p_2 [/mm] als [mm] Zahl*(x^2-\bruch{3}{4}x)+Zahl*(-\bruch{3}{2}+1) [/mm] geschrieben werden kann.
Seien
[mm] p_1(x)=a_1(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_1(-\bruch{3}{2}+1),
[/mm]
[mm] p_2(x)=a_2(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_2(-\bruch{3}{2}+1)
[/mm]
Berechne nun
[mm] (p_1+p_1)(x)=p_1(x)+p_2(x)= [/mm] ...
LG Angela
>
> >
> > Wenn Du das mit Erfolg getan hast, können wir auch noch
> > einen anderen Weg besprechen, bei dem Du das Integral gar
> > nicht berechnen mußt.
> >
> > LG Angela
> >
> >
> >
> >
> >
> > >
> > >
> > > > LG Angela
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Danach kann es weitergehen mit dem Prüfen der
> > > > > > UVR-Kriterien:
> > > > > >
> > > > > > > Ein Untervektorraum ist es, wenn gilt:
> > > > > > > - mit p, v [mm]\in[/mm] P liegt auch p + v in P
> > > > > > > - mit p [mm]\in[/mm] P liegt für alle s [mm]\in \IK[/mm] auch
> s
> > *
> > > p
> > > > in
> > > > > P
> > > > > > > - 0 [mm]\in[/mm] P.
> > > > > >
> > > > > > Der Rest hat Zeit bis später. Fang erstmal mit
> > a)
> > > > an.
> > > > > >
> > > > > > LG Angela
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > und ein Polynom ist
> > > > > > >
> > > > > > > f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
>
> >
> > > > als
> > > > > > Grad
> > > > > > >
> > > > > > > leider verstehe ich hier den Zusammenhang
> > nicht.
> > > > > > >
> > > > > > > zu (b)
> > > > > > > es gilt beinahe alles oben aufgelistete
> > > ebenfalls,
> > > > > nur
> > > > > > dass
> > > > > > > diesmal beim Skalarprodukt auf beiden Seiten
> > das
> > > > > Selbe
> > > > > > > steht, und ich weiß dass < f-h | f-h|= 0
> wenn
> > > > f-h=0,
> > > > > > somit
> > > > > > > müsste eigentlich f-h=1,5 sein
> > > > > > >
> > > > > > > zu (c)
> > > > > > >
> > > > > > > keine Ahnung
> > > > > > >
> > > > > > > Danke sehr im Voraus
> > > > >
> > > Danke sehr im Voraus
> > >
>
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Demnach muss dastehen:
[mm] (a_1+a_2)(x^{2}-\bruch{3}{4}x)+(c_1+c_2)(-\bruch{1}{2})=a_1((x^{2}-\bruch{3}{4}x)+c_1(-\bruch{1}{2})+a_2(x^{2}-\bruch{3}{4}x)+c_2(-\bruch{1}{2})
[/mm]
Korrekt?
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> Demnach muss dastehen:
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> [mm](a_1+a_2)(x^{2}-\bruch{3}{4}x)+(c_1+c_2)(-\bruch{1}{2})=a_1((x^{2}-\bruch{3}{4}x)+c_1(-\bruch{1}{2})+a_2(x^{2}-\bruch{3}{4}x)+c_2(-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> Korrekt?
Hallo,
ich würde es so aufschreiben:
[mm] p_1(x)+p_2(x)=a_1((x^{2}-\bruch{3}{4}x)+c_1(-\bruch{1}{2})+a_2(x^{2}-\bruch{3}{4}x)+c_2(-\bruch{1}{2})=(a_1+a_2)(x^{2}-\bruch{3}{4}x)+(c_1+c_2)(-\bruch{1}{2})\in [/mm] P.
Danach prüfe, ob für [mm] r\in \IR [/mm] und [mm] p\in [/mm] P das Polynom r*p in P liegt.
LG Angela
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Verstehe ich jetzt wieder nicht. Woher tauchen nun r und p auf? Ich hätte einfach für [mm] a_1 a_2 c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] was eingesetzt und geprüft ob die Gleichung erfüllt ist
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> Verstehe ich jetzt wieder nicht. Woher tauchen nun r und p
> auf? Ich hätte einfach für [mm]a_1 a_2 c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] was
> eingesetzt und geprüft ob die Gleichung erfüllt ist
Hallo,
ich weiß nicht, was Du planst...
Es muß doch noch nachgewiesen werden, daß ein jegliches Vielfache eines beliebigen Polynoms aus P auch in P ist, daß also für alle Polynome [mm] p\in [/mm] P und alle [mm] r\in \IR [/mm] gilt [mm] r*p\in [/mm] P.
Sei [mm] p\in [/mm] P.
Dann hat p(x) die Gestalt p(x)=...
Es ist r*p(x)=... und dann brauchst Du einen guten Grund dafür, daß das in P ist.
Wenn Du die Addition geschafft hast, schaffst Du dies auch.
LG Angela
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