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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 12.06.2005 | | Autor: | mimi94 |
Hallo!
Ich habe bei diesen Aufgaben über das Skalarprodukt Schwierigkeiten.
1.
Sei V = [mm] M_{n,n}(\IR) [/mm] und sei β : V × V → [mm] \IR [/mm] definiert durch β(A,B) = Spur(A · [mm] B^{t}). [/mm] Zeige, dass β ein Skalarprodukt auf V
Ich weiß icht so richtig, was ich mir unter Spur vorstellen soll, kann mir dies jemand bitte sagen?
2. (Skalarprodukt)
Sei V = [mm] \IR^{2} [/mm] und sei <, > : V × V → R gegeben durch
<(x, y), (u, v)> = xu [mm] +\bruch{1}{2}(xv [/mm] + yu) + yv.
(i) Zeige, dass <, > ein Skalarprodukt ist.
(ii) Gib eine Orthonormalbasis von (V, <, >) an.
(iii) Bestimme den Winkel zwischen den Vektoren (0, 1) und (1, 0).
bei iii) habe ich 60 grad als winkel raus
da habe ich die Formel die wir beweisen sollen genutzt durch
|u|*|v| und wieder die formel von oben eingesetzt---ist dies richtig?
bei i) wenn man einfachdas ausmultipliziert wie beim skalarprodukt, weiß ich nicht we man auf 1/2 kommt
und bei ii) komm ich überhaupt nicht weiter
Ich danke schonmal jetzt für jede Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo mimi!
> 1.
> Sei V = [mm]M_{n,n}(\IR)[/mm] und sei β : V × V → [mm]\IR[/mm]
> definiert durch β(A,B) = Spur(A · [mm]B^{t}).[/mm] Zeige, dass
> β ein Skalarprodukt auf V
> Ich weiß icht so richtig, was ich mir unter Spur
> vorstellen soll, kann mir dies jemand bitte sagen?
Die Spur einer Matrix ist die Summe der Diagonaleinträge.
> 2. (Skalarprodukt)
> Sei V = [mm]\IR^{2}[/mm] und sei <, > : V × V → R gegeben
> durch
> <(x, y), (u, v)> = xu [mm]+\bruch{1}{2}(xv[/mm] + yu) + yv.
> (i) Zeige, dass <, > ein Skalarprodukt ist.
> (ii) Gib eine Orthonormalbasis von (V, <, >) an.
> (iii) Bestimme den Winkel zwischen den Vektoren (0, 1) und
> (1, 0).
> bei iii) habe ich 60 grad als winkel raus
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da habe ich die Formel die wir beweisen sollen genutzt
> durch
> |u|*|v| und wieder die formel von oben eingesetzt---ist
> dies richtig?
> bei i) wenn man einfachdas ausmultipliziert wie beim
> skalarprodukt, weiß ich nicht we man auf 1/2 kommt
Es wird einfach so definiert. Sorry, aber das ist so. 
> und bei ii) komm ich überhaupt nicht weiter
Kennst du das Gram-Schmidt-Verfahren?
Wir nehmen uns irgendeinen von $0$ verschiedenen Vektor, zum Beispiel [mm] $v_1=\pmat{1 \\ 0}$. [/mm] Jetzt normieren wir diesen. Wegen [mm] $\langle \pmat{1 \\ 0}, \pmat [/mm] {1 [mm] \\ [/mm] 0} [mm] \rangle [/mm] =1$ ist hier aber nichts zu tun.
Nun nehmen wir uns einen weiteren Vektor, der kein Vielfaches von [mm] $v_1$ [/mm] ist, etwa [mm] $\pmat{0 \\ 1}$, [/mm] und bilden:
[mm] $\tilde{v_2} [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 1} [/mm] - [mm] \langle \pmat{0 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0} \rangle \pmat{1 \\0} [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \pmat{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ -\frac{1}{2} \\ 1}$.
[/mm]
Kurze Kontrolle:
[mm] $\langle \tilde{v_2},v_1 \rangle [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \cdot [/mm] 1 + [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 = 0$.
Jetzt müssen wir [mm] $\tilde{v_2}$ [/mm] nur noch normieren, dann haben wir eine ON-Basis.
Wir setzen also:
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{\langle \tilde{v_2},\tilde{v_2} \rangle}} \tilde{v_2} [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Ich denke das schaffst du. 
Viele Grüße
Julius
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